| Головна » Статті » Мовознавство | [ Додати статтю ] |
Дослідження стійкості в системі популяційної динаміки із запізненням
|
Дослідження стійкості в системі популяційної динаміки із запізненням 1. Вступ У багатьох застосуваннях припускається, що на поведінку піддослідної системи не впливає жодна затримка в часі, тобто майбутній стан системи не залежить від попередніх станів і визначається лише теперішнім. У таких випадках динамічна система переважно моделюється звичайними диференціальними рівняннями. Однак при глибшому вивченні виявляється, що такий погляд - це лише перше наближення до дійсного стану і реальніша модель повинна включати минулі стани системи. Крім того, деякі задачі повністю втрачають свій зміст без розгляду “попередньої історії”. Ці положення були відомі й раніше, але теорія систем з післядією інтенсивно розвивається лише протягом останніх 50 років. Досягнення в галузі обчислювальної техніки є дуже важливими, оскільки теорія інтегрування, тобто аналітичного розв'язування, для систем з післядією не настільки успішна. Перші системи, з якими зіткнулися дослідники, були біологічними. При дослідженні динаміки популяцій двох антагоністичних видів [7] використовувалися системи із запізненням. Р.Беллман [3] вивчав наслідки введення у кров хімічного розчину. Зауважимо, що рівняння, які описують цей процес, не є звичайними диференціальними рівняннями, оскільки повна циркуляція крові триває близько двох хвилин. Мета цієї праці - проаналізувати систему імунного захисту організму, враховуючи запізнення в часі. Вперше модель імунного захисту людського організму була розроблена групою математиків і лікарів на чолі з Г.І.Марчуком. Як зазначає Г.І.Марчук [1], модель дала непогані результати при використанні її для лікування пневмонії та вірусного гепатиту. 2. Асимптотична стійкість 2.1. Головні результати теорії стійкості Широке коло задач пов'язано з дослідженнями динаміки об'єктів, що описуються диференціальними рівняннями із запізненням: (2.1) Тут - функціонал, визначений для довільного фіксованого на множині кусково-неперервних функцій: Одним із найзагальніших методів дослідження стійкості таких задач є прямий метод Ляпунова. Використання такої методики для систем із післядією пов'язано з двома напрямками. Перший ґрунтується на скінченно-вимірних функціях Ляпунова і використовує теореми Б.С.Разуміхіна. Однак цей підхід має недолік: не доведено необхідності цих умов стійкості. Сенс диференціально-різницевих рівнянь полягає в нескінченно-вимірних просторах. Використання скінченно-вимірних функцій Ляпунова призводить до зайвих достатніх умов. З цієї причини М.М.Красовський [8] запропонував підійти до вивчення стійкості з точки зору дослідження процесів у функціональних просторах. Як точку простору він запропонував розглядати не вектор , а вектор-відрізок цієї траєкторії . Замість функції він запропонував використовувати функціонал , визначений на відрізку . Використання функціоналів - це природнє узагальнення прямого методу Ляпунова для звичайних диференціальних рівнянь на рівняння із запізненням. Головний результат для автономних систем твердить [2]. Теорема 2.1. Нехай існують - функціонал і неперервні функції такі, що при , при , Тоді незбурений роз'язок системи (1) є стійким, а кожен роз'язок обмеженим. Якщо, крім цього, при , тоді кожен розв'язок прямує до нуля при . 2.2. Один загальний випадок нелінійної системи третього порядку із запізненням Розглянемо систему диференціальних рівнянь із запізненням: (2.2) Тут і - від'ємні константи, функції задовольняють наступні умови: (2.3) де - додатні константи. Теорема 2.2. Нехай умови (2.3) виконані. Тоді незбурений розв'язок (2.2) є стійким та експоненціально -стійким. Доведення. Нехай - функція Ляпунова для скалярного рівняння: (2.4) Тоді: Розглянемо функціонал, що відображає в вигляду: Повна похідна функціоналу вздовж першого рівняння з (2.2) має вигляд: Згідно з умовами (3), існує таке, що: (2.5) у сфері: . (2.6) Функціонал задовольняє умови: (2.7) при досить великому N. Нехай - довільний розв'язок системи (2.2) з початковими умовами зі сфери: Розглянемо інтервал , на якому піддослідний розв'язок зодовольняє умови: Оскільки мають місце (2.5), (2.6), (2.7), то, як випливає з теореми 2 (див. [10], стор.145), розв'язок першого рівняння з (2.2) - експоненціально x-стійкий, тобто: (2.8) Уявимо функцію , яка задовольняє друге рівняння з (2.2) у наступному вигляді: (2.9) Оскільки то маємо: Застосовуючи до останньої нерівності лему Гронуола-Беллмана, отримуємо: Виберемо і такі, що мають місце нерівності: Звідси при має місце: Нехай . Таким чином, нерівності мають місце для довільного . Таким же чином, як це було зроблено для , можна довести -стійкість (2.2). Теорему доведено. 3. Система імунного захисту Наша подальша мета - отримати достатні умови стійкості в явному вигляді для наступної нелінійної системи: (3.1) Тут . З цією метою введемо такі позначення. Нехай - довільні додатні константи. Нехай:Теорема 3.1. Нехай існують додатні константи , що задовольняють нерівності: Тоді тривіальний розв'язок (22 ) є асимптотично стійким. Доведення. Використаємо квадратичний функціонал вигляду: що є додатньо-означеним на розв'язках системи (22). Обчислимо повну похідну функціоналу , використовуючи систему (22). Маємо: Зробимо перетворення в усіх складових порядку, відмінного від двох. Тут береться до уваги додатність траєкторії системи. Маємо: Ми отримали нерівність, де в правій частині є квадратична форма, що відповідає вектору: Маємо: . Тут: . Взявши до уваги вигляд матриці , стає зрозумілим, що від'ємна визначеність є еквівалентною виконанню нерівностей, згаданих у формулюванні теореми. Література Нисевич Н.И., Марчук Г.И. Математическое моделирование вирусного гепатита. - М.: Наука, 1981. Hale J. Theory of Functional-Differential Equations. Springer. - Berlin, 1977. Bellman R., Jacques J., Kalaba R. Some mathematical aspects of chemoterapy. I: one-organ models // Bull. Math. Biophys. - 1960. - Р. 181-198. Marzeniuk V.P. On Construction of Exponential Estimates for Linear Systems with Delay. - Advances in Difference Equations. - Gordon and Breach Science Publishers. - 1997. - Р.439-445. Хусаинов Д.Я., Марценюк В.П. Оптимизационный метод исследования устойчивости линейных систем с запаздыванием // Кибернетика и системный аналіз. - 1996. - №4. - С. 88-93. Хусаинов Д.Я., Марценюк В.П. Двусторонние оценки решений линейных систем с запаздыванием // Доклады НАН Украины.- 1996. - №8. - С. 8-13. Volterra V. Sur la theorie mathmatique des phenomenes hereditaires. J. Math. Pures Appl. - 7 (1928). - Р. 249-298. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. - М.: Физматгиз, 1959. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. - М.: Наука, 1951. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. - М.: Наука, 1971. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с постедействием. - М.: Наука, 1981. - 448 с. | |
| Переглядів: 600 | |
| Всього коментарів: 0 | |