Реферат
на тему:
Евклід: життя і твори

Мало хто з сучасних учнів знає підручник «Початки» Евкліда. Але ж саме по цій книзі ( чи по її обробках ) училися усі творці сучасної математики: Декарт і Ферма, Ньютон і Лейбніц, Колмогоров і Понтрягін... Усіх не перерахуєш.
Не можна сказати, що протягом багатьох століть не з'являлися інші відомості математичних знань, але усі вони забувалися і знову витіснялися «Початками» Евкліда. З 1482 р. вона видавалася більше 500 разів на різних мовах.
Можна з впевненістю стверджувати, що всі сучасні тк звані точні науки виросли з давньогрецької науки, тобто з «Початках» Евкліда – самого древнього зібрання математичних знань, який дійшов до нашого часу.
Так хто ж був Евклід? Дослідник, енциклопедист, методист? На жаль, про життя цього знаменитого вченого збереглося вкрай мало відомостей. Роки його життя відносять до проміжку часу приблизно між 365 і 300 р. до н.е.
Відомо, що Евклід був запрошений в Олександрію царем ПтолемеємСотером для організації математичної школи і викладав там математику. Відомо, що він учився в платонівській Академії в Афінах.
Отже, які ж праці Евкліда нам відомі?
Крім «Початків» до нас дійшли, хоча й у сильно перекрученому вигляді, трактати «Оптика» і «Катоптрика». У «Оптику» Евклід формулює і доводить правило «кут падіння дорівнює куту відбиття», а в «Катоптриці» він виводить, спираючи на це правило, закони відображення від опуклих і увігнутих дзеркал. У цих трактатах міститься перший в історії виклад геометричної оптики. Крім того, Евкліду належить твір по математичній астрономії «Явища», йому також приписується твір «Перетин канону» по теорії музики.
В усіх цих творах Евклід спочатку розкриває постулати деяких властивостей досліджуваних об'єктів ( наприклад, те, що світло поширюється по прямій ) і необхідні математичні відомості, а потім на цій основі дедуктивно будує теорію, що викладається.
Евкліду належать твори про конічні перетини ( тобто еліпси, гіперболи, параболи) і «Про поверхневі місця», що до нас дійшли.
В арабському перекладі нам відомий твір Евкліда «Про розподіл фігур»
Але головною працею Евкліда, безсумнівно, є «Початки» ( у 13 книгах ). Він зібрав і систематизував сучасну йому математику, суворо дедуктивно виклавши її в цій об'ємній праці.
Нижче описані найбільш цікаві, з погляду сучасної математики, досягнення Евкліда і його попередників, викладені в «Початках».
Теорема Евкліда
Дану теорему, про яку йде мова, викладена в IX книзі «Початки». Вона формулюється так:
безліч простих чисел нескінченна.
Доказ дуже простий: якби безліч усіх простих чисел було кінцевим, то, перемноживши їх всі і додавши одиницю, ми одержали б нове число, що не поділяється на жодне з відомих простих чисел і, отже, просте.
Алгоритм Евкліда
Усім відомий алгоритм Евклида перебування загальної міри відрізків. Він полягає в наступному.
Нехай є два відрізки нерівної довжини A і В, причому, наприклад, А більше В. Відкладемо відрізок В на відрізку А стільки разів, скільки вийде ( мал. 1 ).
Тоді А=n0B + C1, де C1 < В.
Тепер беремо відрізки В и C1 і повторюємо з ними ту ж операцію: У=n1C1 + C2, де C2 < C1 ( мал. 2 ).

А
С1
В В В
n0 разів
( мал. 1 )

В
С1 С1 С2
n1 раз.
( мал. 2 )
Повторюючи цю операцію багато разів, ми або коли-небудь одержимо нульовий відрізок-залишок Cm= nm+1Cm+1 + 0 відрізок Cm+1 виявиться загальною мірою відрізків А і В, або процес відкладання відрізків ніколи не закінчиться.
В останньому випадку говорять, що відрізки А і В непорівнянні ( тобто не мають загальної міри ). Числа n0, n1, … називаються «неповними частками».
Якщо виявлена загальна міра величин А и В і вона дорівнює деякій величині D, то А= ?D, B=?D і відношення А и В є відношення ? до ?.
Цікаво, що Евклід побудував алгоритм окремо для чисел (тобто натуральних чисел) і окремо для відрізків (величин).
Отже, алгоритм Евклида дозволяє не тільки знаходити загальну міру ( НОД) двох чисел, скорочувати на НОД дробу, але і «округляти» раціональні числа.
Теорія відносин Евдокса
У «Початках» викладена інша теорія відносин, створена Евдоксом. Вона відповідала на запитання: як можна порівнювати відносини чисел і що відбувається з ними в результаті арифметичних операцій?
Двоє відносин a/b і c/d вважаються рівними, якщо для будь-яких натуральних чисел М, N виконуються умови:
aM > bN cM > dN,
aM = bN cM = dN,
a < b c < d.
Такий підхід до порівняння відносин був революційним проривом у побудові теорії дійсного числа ( поки тільки для раціональних позитивних чисел ).
Теорія ірраціональностей
Видимо, саме алгоритм Евкліда привів піфагорійця до встановлення несумірності сторони і діагоналі квадрата ( тобто ірраціональності числа v2 ). Це відкриття істотне вплинуло на подальший розвиток і математики, і філософії. Воно показало, що помилково основний принцип піфагорійців «усі є число». Вони вважали, що усяку величину можна виразити числом ( натуральним ) чи відношенням чисел, але виявилося, що діагональ квадрата зі стороною 1 не виражалася відношенням чисел.
Теєтет Афінський розвинув цей підхід і довів, що квадратні корені з квадратних чисел раціональні, а з неквадратних – ірраціональні. Крім того, кубічні корені з кубічних чисел раціональні, а з некубічних – ірраціональні.
Більш того, він класифікував деякі типи іррациональностей, які можна побудувати за допомогою циркуля і лінійки.
Геометрична алгебра
Важливим досягненням античної математики стало створення так називаної геометричної алгебри, зачатки якої малися ще у вавілонян.
Ми знаємо, що в Древній Греції не було можливості записувати буквами алгебраїчні формули і рівняння. Крім того, великі проблеми виникали при операціях з натуральними числами. Античні математики обійшли цю проблему, перевівши всі алгебраїчні вираження першого і другого ступеня на геометричну мову. Усі побудови були планіметричними.
Видимо, саме алгебраїчними потребами порозумівається настільки бурхливий розвиток планіметрії в античності.
Платонові тіла
В останньої, XIII книзі «Початки» описуються будова і властивості правильних багатогранників – тетраедра, гексаэдра, октаэдра, додекаэдра, ікосаедра.
І Евклід не просто описав правильні багатогранники, але і досліджував їх властивості. Він знайшов відносини довжин ребер усіх правильних багатогранників до діаметра описаної біля багатогранника сфери.
Більш того, він запропонував способи побудови правильних багатогранників, уписаних у сферу даного діаметра.
Вчення про гармонію
Ще піфагорійці знали, що якщо висоти звуку відносяться як невеликі цілі числа, то сполучення звуків буде приємним, гармонічним. Так, відношення висот 1:2 дає музичний інтервал, називаний октавою, відношення 2:3 – дає квінту, 3:4 кварту. Для того щоб підвищити на квінту звук, наприклад, що коливається струни, треба зменшити її довжину на 1/3, змусивши звучати що залишилися 2/3 струни, при цьому частота коливань струни збільшиться в 1/(2/3) разу. А для підвищення звуку на кварту треба витягти звук з 3/4 струни, тобто частота коливань буде в 4/3 рази вище частоти коливань основного тону. Виходячи з цього, можна побудувати музичну шкалу.
Першим точними розрахунками музичної шкали став Архіт Тарентський. Евклід продовжив його традицію і виклав навчання про гармонію в «Перетині канону» і – частково – у «Початках».
Список використаної літератури
Науково-теоретичний і методичний журнал «Математика в школі» №4 . Видавництво «Школ-Пресс».