| Головна » Статті » Математика | [ Додати статтю ] |
Задачі, що приводять до похідної. Визначення похідної, її геометричний і механічний зміст. Рівняння дотичної і нормалі до графіка функції. Ч
|
План • Задачі, що приводять до похідної. • Означення похідної. • Геометричний та механічний зміст похідної. • Рівняння дотичної і нормалі до графіка кривої. • Частинні похідні функції декількох змінних, їх геометричний зміст. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ. ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ТА ДЕКІЛЬКОХ ЗМІННИХ 1. Вступні відомості Нехай матеріальна точка рухається прямолінійно, а закон руху її задається деякою функцією 1. Поставимо задачу: знайти швидкість точки в момент часу . Нехай в деякий момент часу точка займала положенням (рис.6.1).Через проміжок часу точка займе положення і пройде шлях . називається середньою швидкістю руху точки. Означення. Швидкістю точки в момент часу називається границя середньої швидкості на проміжку часу, коли прямує до нуля: Зазначимо, що формула дає змогу знайти швидкість у момент часу тільки тоді , коли існує границя цього відношення. 2. Задача про дотичну до кривої. З поняттям дотичної до кривої в даній точці ми зустрічалися при вивченні кола за шкільною програмою, за якою давалося означення дотичної до кола як прямої лінії, що має з колом одну спільну точку. Проте це означення є окремим випадком. Його не можна поширити, наприклад, на незамкнуті криві. Тому треба дати загальне означення дотичної, яке б підходило як до замкнутих, так і до незамкнутих кривих. Нехай маємо деяку довільну криву (рис.6.2, 6.3). Візьмемо на цій кривій точки та і через них проведемо пряму , яку називатимемо січною. Якщо точка переміщатиметься вздовж кривої, то січна повертатиметься навколо . Нехай , рухаючись вздовж кривої, наближається до точки , тоді довжина хорди прямує до нуля. Якщо при цьому й значення кута прямує до нуля, то пряма називається граничним положенням січної . Означення. Дотичною до кривої в точці називається граничне положення січної , якщо точка прямує вздовж кривої до злиття з точкою . Зауважимо, що яким би чином точка не наближалася по кривій до точки , січна повинна при цьому наближатися до того самого граничного положення (до тієї самої прямої). Тільки в цьому випадку кажуть, що в точці крива має дотичну. Граничне положення січної може не існувати. Із рисунка (6.2) видно, з якого б боку точка по кривій не рухалася б до точки , січна , обертаючись навколо точки , при цьому наближається до тієї самої прямої . Якщо січна наближається до різних прямих (рис.6.3), залежно від того, з якого боку , то кажуть, що в даній точці дотичної до кривої не існує. Так дотична до кривої в точці не існує, бо коли точка і знаходиться справа від , то січна наближається до прямої , а коли і знаходиться зліва, то січна наближається до прямої . Розглянемо випадок, коли крива задана в декартовій системі координат рівнянням: , де - неперервна функція на деякому проміжку . Нехай графік цієї функції (крива ) має вигляд, зображений на рис.6.4. Візьмемо на кривій точку і застосуємо наведене вище означення дотичної до цієї кривої в точці . Для цього на кривій візьмемо точку . Позначимо її координати через ( відповідно прирости і , вони можуть бути і від’ємними числами). Через точки і проведемо січну і продовжимо її до перетину з віссю . Кут, який утворює січна з додатним напрямом осі , позначимо через . Нехай точка прямує вздовж кривої до злиття з точкою . Тоді координати точки наближаються як завгодно близько відповідно до координат точки , Тобто Із співвідношень (6.6) випливає, що і , якщо точка . Нехай , тоді й (внаслідок неперервності функції , а отже, точка ). Припустимо, що розглядувана крива в точці має дотичну . Нехай, Тоді точка наближається по кривій до злиття з точкою, а січна , обертаючись навколо точки , наближатися до свого граничного положення - прямої , яка згідно з припущенням, і є в цьому випадку дотичною до кривої в точці. Продовжимо дотичну до перетину з віссю і позначимо кут, який утворює ця дотична з додатним напрямом осі через . Тоді кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює . З другого боку, якщо , то кут прямує до кута . Отже, внаслідок неперервності тангенса , проте . Тому приходимо до такого співвідношення: Ми довели: якщо крива , де - неперервна на проміжку функція, має в точці дотичну то кутовий коефіцієнт дотичної визначається співвідношенням Досить важливі задачі з механіки, фізики, геометрії можна розв’язувати за допомогою граничного переходу у відношенні при , тобто за допомогою границі Тому доцільно вивчити цю границю, зокрема вказати способи її обчислення. При цьому треба величини і розглядати абстрактно, не вкладаючи в них конкретного змісту, тоді й границя (6.10) (в математиці називається похідною) буде абстрактною величиною. | |
| Переглядів: 627 | |
| Всього коментарів: 0 | |