| Головна » Статті » Математика | [ Додати статтю ] |
Властивості математичного сподівання і дисперсії
|
Властивості математичного сподівання: 1) Математичне сподівання постійної величини дорівнює цій постійній величині, тобто: М(С)=С 2) Постійний множник можна виносити за знак математичного сподівання M(kx)=kM(x) 3) Математичне сподівання суми скінченої кількості випадкових величин дорівнює сумі математичних сподівань: M(x+y)=M(x)+M(y) 4) Математичне сподівання добутку випадкових величин дорівнює добутку математичних сподівань цих величин: 5) Якщо всі значення випадкової величини X зменшити (збільшити) на одне й те саме число C , то математичне сподівання зменшиться (збільшиться) на те саме число: M(X–C)=M(X)–C Наслідок: Математичне сподівання відхилення випадкової величини X , від її математичного сподівання дорівнює 0 Математичне сподівання дискретної величини Приклад: У парку організована безпрограшна лотерея. Маємо 1000 виграшів, з них 400 по 10 коп.,300 – по 20 коп., 200 – по 1 грн.,100 – по 2грн. Середній розмір виграшу для відвідувача парка, що придбав один квиток дорівнює загальній сумі виграшу, що поділена на загальну кількість виграшів. Загальна сума дорівнює: Середній виграш дорівнює З іншого боку, якщо розглянемо закон розподілу X 0,1 0,2 1 2 P 0,4 0,3 0,2 0,1 то таку ж величину отримаємо при знаходженні суми добутку значень випадкових величин на відповідні ймовірності М(х)=0,10,4+0,30,2+20,1=0,5 Математичним сподіванням дискретної випадкової величини називається сума добутку всіх її значень на відповідні їм ймовірності: Дисперсія дискретної випадкової величини. Дисперсія (з лат. – розсіяність). В більшості випадків тільки математичне сподівання не може в достатній мірі характеризувати випадкову величину. Приклад №1 При однаковій середній величині опадів в двох місцевостях за рік не можна казати, що клімат цих міст однаковий. Приклад №2 Середня заробітна платня не дає можливості казати про питому вагу високо й низькооплачуваних робітників, тобто по математичному сподіванню не можна казати, які відхилення від нього хоча б у середньому можливі. Найбільш розповсюджена міра розсіювання – це дисперсія та безпосередньо отримане з неї середнє квадратичне відхилення. Розкид значень випадкової величини X від її математичного сподівання а характеризують різницю хі–а, однак середнє значення їх не може характеризувати розсіювання, тому що, відповідно наслідку, математичне сподівання цієї різниці буде дорівнювати 0. Отже розглядають квадрати вказаних відхилень: Це математичне сподівання й називається дисперсією випадкової величини X, а позначається D(x) або Дисперсією випадкової величини X називається математичне сподівання квадрату відхилення її математичного сподівання. Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини X називається арифметичне значення квадратного кореню від дисперсії, тобто: Властивості дисперсії 1. Дисперсія постійної величини дорівнює нулю D(с)=0 2. Постійний множник виноситься за знак дисперсії, якщо піднести його до квадрату, тобто: 3. Дисперсія випадкової величини дорівнює математичному сподіванню квадрату її без квадрату математичного сподівання цієї величини: 4. Дисперсія суми скінченої кількості незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин: Наслідок: Середньоквадратичне суми скінченого числа незалежних випадкових величин дорівнює квадратному кореню з суми квадратів середньоквадратичних відхилень, тобто: 5) Дисперсія різниці незалежних випадкових величин дорівнює: Математичні сподівання та дисперсії деяких випадкових величин. Теорема 1 Якщо X1, X2,…,XN однаково розподілені випадкові величини, математичні сподівання кожної з яких дорівнює а , тоді математичне сподівання їх суми дорівнює na, тобто М(Х1+ Х2+ …Хn )=na Наслідок: Математичне сподівання від середнього значення випадкової величини буде дорівнювати а, тобто: . Теорема 2. Якщо X1, X2, …, XN однаково розподілені незалежні випадкові величини, дисперсія кожної з яких дорівнює , тоді дисперсія суми цих випадкових величин : Наслідок: Дисперсія середнього арифметичного випадкових величин дорівнює Теорема 3. Математичне сподівання випадкової величини, розподіленої згідно біноміальному закону, тобто кількість наступів події А в n незалежних випробуваннях, в кожному з яких воно може настати з постійною ймовірністю р, дорівнює np, а дисперсія дорівнює D(x)=npq, q=1–p. Теорема 4. Математичне сподівання частоти (частості) події А в n незалежних випробуваннях, в кожному з яких воно може наступити з постійною ймовірністю p дорівнює цій ймовірності p тобто: , а дисперсія буде дорівнювати: Теорема 5. Математичне сподівання та дисперсія випадкової величини, розподіленої згідно закону Пуассона, співпадають та дорівнюють : де . Функція розподілу випадкової величини.Нехай дискретна випадкова величина задана законом розподілу. Розглянемо подію, яка полягає в тому, що випадкова величина Y прийме яке–небудь значення менше будь–якого числа X. Ця подія має певну ймовірність. xi X1 X2 … Xn Pi P1 P2 … Pn Позначимо При зміні X будуть змінюватися і ймовірності. Отже F(x) можна розглядати як функцію змінної величини X. Функцією розподілу випадкової величини Y називається функція F(x), яка виражає для кожного X ймовірність того, що Y прийме яке-небудь значення менше заданого. F(x) – постійна на інтервалах та має скачки в точках, що відповідають її значенням | |
| Переглядів: 650 | |
| Всього коментарів: 0 | |