| Головна » Статті » Математика | [ Додати статтю ] |
Визначені та невласні інтеграли
|
Визначений інтеграл є одним із основних понять математичного аналізу і широко використовується в різних галузях науки, техніки та в економічних дослідженнях. 1. Означення та властивості визначеного інтеграла 1.1. Задачі, що привели до поняття визначеного інтеграла Розглянемо дві задачі — геометричну та фізичну. 1. Обчислення площі криволінійної трапеції. Нехай на відрізку [а, b] визначена неперервна функція у = f (х) і будемо поки що вважати, що f (х) 0 для усіх x є [а, А]. Фігуру, обмежену кривою у = f (х), відрізком [а, b] осі 0х, прямими х = а та х = b, називають криволінійною трапецією (дивись Малюнок 1). В окремих випадках може f (а) = 0 або f (b) = 0 і тоді відповідна сторона трапеції стягується в точку. Для обчислення площі S цієї криволінійної трапеції поділимо відрізок [а,b] довільним чином на n частин точками а = х0 < x1 < х2 < ... < xk < ... < хn = b Довжини цих частин Перпендикуляри до осі 0х, проведені із точок ділення до перетину із кривою у = f (х), розділяють усю площу трапеції на n вузьких криволінійних трапецій. Замінімо кожну із цих трапецій прямокутника з основою та висотою , де . Площа кожного такого прямокутника дорівнює Сума площ усіх таких прямокутників буде дорівнювати Таким чином, площа S криволінійної трапеції наближено дорівнює цій сумі, тобто Ця формула буде тим точнішою, чим менше величина . Щоб одержати точну формулу для обчислення площі S криволінійної трапеції, треба в цій формулі перейти до границі, 2. Обчислення шляху, який пройшла точка. Нехай потрібно визначити шлях S, який пройшла матеріальна точка, що рухається в одному напрямі із змінною швидкістю V(t) за час від t0 до T. Поділимо проміжок часу T-t0 на n частин: Δt1,Δt2,…,Δtn. Позначимо через довільний момент часу із проміжку Δtk, а значення швидкості у цій точці позначимо . Точка, що рухається з постійною швидкістю Vk на проміжку часу Δtk, проходить за цей час шлях а за час T - t0 вона пройде шлях Будемо вважати, що шлях S, пройдений точкою, наближено дорівнює цій сумі. Коли Δtk→0, тоді змінна швидкість на проміжку Δtk мало відрізняється від постійної Vk. Тому дійсне значення шляху, пройденого точкою за час T - t0 буде дорівнювати границі цієї суми при max Δtk→ 0, тобто До аналогічної суми зводиться задача про роботу змінної сили, що направлена по прямій лінії — траєкторії руху точки, до якої прикладена ця сила та інші задачі. 1.2. Означення визначеного інтеграла та його зміст Нехай функція f (х) задана на відрізку [a, b]. Розіб'ємо цей відрізок на n частин точками ділення а = х0 < x1 < x2 < ... < хn = b У кожному проміжку [xk-1, xk] довжиною Δхk = хk- хk-1 оберемо довільну точку і обчислимо відповідне значення функції . Побудуємо суму яку називають інтегральною сумою для функції f (х) на відрізку [а,b]. Означення 1. Якщо існує скінченна границя інтегральної суми при , незалежна від способу ділення відрізка [а,b] на частини та добору точок , то ця границя називається визначеним інтегралом від функції f (х) на відрізку [а,b] і позначається Математично це означення можна записати так: Відмітимо, що числа а та b називають нижньою та верхньою межами, відповідно. Згідно з цим означенням рівності (1) та (2) тепер можна записати у вигляді тобто площа криволінійної трапеції S та шлях S, пройдений точкою із змінною швидкістю V = f (t) виражаються визначеним інтегралом. Перевірка існування скінченної границі інтегральної суми для кожної функції утруднена. Але такої перевірки робити не треба тому, що використовують таку відому теорему. Теорема 1. Якщо функція f (х) неперервна на відрізку [а, b] або обмежена і має скінченну кількість точок розриву на цьому відрізку, то границя інтегральної суми існує, тобто функція f (х) інтегрована на [a, b]. 1.3. Основні властивості визначеного інтеграла Із означення (3) визначеного інтеграла та основних теорем про граниш випливають слідуючі властивості. 1 Постійний множник можна виносити за знак визначеного інтеграла, тобто якщо А — стала, то 2 Визначений інтеграл від алгебраїчної суми скінченної кількості функцій дорівнює такій самій алгебраїчній сумі інтегралів від кожного доданку, тобто 3 Якщо поміняти місцями межи інтегрування, то визначений інтеграл змінює свій знак на протилежний, тобто 4 Визначений інтеграл з рівними межами дорівнює нулю, тобто для будь-якої функції f (х). 5 Якщо f (х) (х), х [а, b], то 6 Якщо m та M — найбільше та найменше значення функції f (х) на відрізку [a,b], то 7 де 8 1.4. Обчислення визначених інтегралів Раніше ми навчились знаходити невизначені інтеграли. Тому для обчислення визначених інтегралів доцільно встановити зв'язок між ними. 2.1. Зв'язок між визначеним та невизначеним інтегралами Означення 2. Визначений інтеграл з постійною нижньою межею та змінною верхньою межею називають інтегралом із змінною верхньою межею.Щоб мати звичне позначення, змінну верхню межу позначимо через х, а змінну інтегрування — t. Одержимо інтеграл який є функцієюх, тобто Ф(х) = Теорема 2. Якщо f (х) неперервна функція, то похідна визначеного інтеграла від неперервної функції по змінній верхній межі дорівнює значенню підінтегральної функції для цієї верхньої межі, тобто Доведення. Надамо аргументу х приріст Δх, тоді функція Ф(х) одержить приріст, який згідно з властивістю 8 визначеного інтеграла можна записати у вигляді До останнього інтеграла застосуємо властивість 7, тоді Згідно з означенням похідної маємо що й треба було довести. Теорема 3. Визначений інтеграл від неперервної функції дорівнює різниці значень будь-якої її первісної для верхньої та нижньої меж інтегрування, тобто якщо F(x) є первісна функції f (х), то має місце рівність ь яка називається формулою Ньютона-Лейбніца. Доведення. Нехай F(x) деяка первісна функції f (х). За теоремою 2 також первісна для f (х). Але дві первісні функції f (х) відрізняються лише на постійний доданок С. Тому Ця рівність (7) при відповідному обранні С буде тотожністю, тобто має місце для усіх х. Для визначення С візьмемо у формулі (7) х = а. Тоді Якщо у цій рівності покласти х = b, то одержимо Змінюючи змінну інтегрування t на х, одержимо формулу (6), що й треба було довести. Відмітимо, що різницю позначають часто так: F(x) , тобто F(x) = Тому формулу Ньютона-Лейбніца (6) можна записати у вигляді Ця формула вказує не тільки на зв'язок визначеного інтеграла з невизначеним, але й спосіб обчислення . Приклад 1. Обчислити Розв’язування. 2.2. Інтегрування частинами Якщо проінтегрувати обидві частини рівності d[u(x) • v(x)] = v(x)du(x) + u(x)dv(x) в межах від а до b, то одержимо Звідси одержуємо важливу формулу інтегрування частинами визначеного інтеграла. Приклад 2. Обчислити інтеграл xcosxdx. Розв'язування. Нехай u = x, dv = cosxdx , тоді знаходимо du = dx, (взята первісна без сталої С). Застосовуючи до заданого інтеграла формулу (8), одержимо 2.3. Заміна змінної у визначеному інтегралі Теорема 4. Нехай задано інтеграл , де f (х) неперервна на відрізку [а,b]. Зробимо підстановку х = (t), а t ß, де (t) неперервно диференційована функція на відрізку [ ,ß]. Якщо: 1 при зміні t від до ß змінна х змінюється від а до b, тобто (а)= а, (ß) = b; 2 складна функція f[ (t)] визначена і неперервна на відрізку [ ,ß], тоді має місце рівність Доведення. Нехай F(x) деяка первісна для функції f (х), тобто F'(X) = f (х). Розглянемо складну функцію F [ (t)]. Застосовуючи правило диференціювання складної функції, одержимо Це означає, що функція F[ (t)] є первісною для функції Звідси, за формулою Ньютона-Лейбніца і рівностей ( ) = a та (ß) = b, одержуємо що й треба було довести. Приклад 3. Обчислити . Розв’язування. Нехай , тоді t2 = 1 + х х = t2 - 1, dx= 2tdt. Знайдемо межі інтегрування, використовуючи рівність Отже, 2.4. Методи наближеного обчислення Для деяких неперервних надінтегральних функцій f (х) первісну не можна виразити елементарними функціями. У цих випадках обчислення визначного інтеграла за формулою Ньютона-Лейбніца неможливе. Крім того, у практичній діяльності часто досить знати лише наближене значення визначеного інтеграла і знаходити це наближене значення такими методами, які дозволяють використовувати сучасну обчислювальну техніку. Тому математики багатьох країн розробляють ефективні методи наближеного обчислення визначеного інтеграла. Найбільш часто використовують три методи — метод прямокутників, метод трапецій та метод парабол (метод Сімпсона). Якщо відрізок інтегрування [а,b] поділити на n рівних частин довжиною і позначити через середню точку відрізку визначений інтеграл можна обчислити за формулою яку називають формулою прямокутників. Чим більше буде n, тим менше буде крок і права частина (10) буде давати більш точне значення інтеграла. Якщо поділити відрізок інтегрування точками ділення а = х0 < x1 < х2 < ... < хk < ... < хn-1 < хk = b на n рівних частин довжиною i позначити значення функції в точках ділення f (хk), тоді визначений інтеграл можна обчислити за формулою яку називають формулою трапецій. Легко бачити, що при зростанні n крок зменшується, тому значення інтеграла буде більш точним. Якщо відрізок інтегрування [а,b] поділити на парну кількість рівних частин (тобто n = 2m) i позначити уk = f (xk), де xk = а + х•k — точки ділення, k = 0, 1, ..., 2m, тоді визначений інтеграл можна обчислити за яку називають формулою Сімпсона. Ця формула дає більш точне значення визначеного інтеграла тому, що для її доведення використовується метод парабол, за яким на кожному відрізку [xk-1, xk] три значення функції f (х) входять до інтегральної суми. 4. Застосування визначених інтегралів 4.1. Обчислення площЯкщо на відрізку [а,b] функція f (х) 0, то згідно з формулою (4), обчислення площі криволінійної трапеції, зображеної на малюнку 1, можна знайти за формулою Якщо на відрізку [a, b] функція f (х) 0, то криволінійна трапеція, обмежена кривою f (х), відрізком [а, b] та прямими х = а і х = b, буде розташована нижче осі 0х. Визначений інтеграл у цьому випадку буде 0. Але площа є невід'ємною величиною, тому площу криволінійної трапеції, розташованої нижче осі 0х, треба знаходити за формулою або (f(x) 0) Якщо f (х) на відрізку [а,b] декілька разів змінює свій знак, то інтеграл по відрізку [а,b] треба розбити на суму інтегралів по часткових відрізках. Інтеграл буде додатним на тих відрізках, де f (х) 0 та від'ємним там, де f (х) | |
| Переглядів: 516 | |
| Всього коментарів: 0 | |