| Головна » Статті » Математика | [ Додати статтю ] |
Випадкові величини - реферат українською
|
1. Випадкові величини функції на просторі елементарних подій. Одним з основних понять теорії ймовірностей є поняття випадкової величини. Випадкова величина це величина, яка приймає те чи інше значення в залежності від випадку. Прикладом випадкової величини можуть бути число очок, які випали при одному підкиданні грального кубика, число попадань в ціль при n пострілах, час безвідмовної роботи приладу, дальність польоту балістичної ракети та інш. Випадкова величина є число, яке ставиться у відповідність кожному можливому наслідку експеримента. Оскільки наслідки експерименту описуються елементарними подіями, випадкову величину можна розглядати як функцію на просторі елементарних подій . Приклад. Нехай двічі підкидають монету. Простір елементарних подій має вигляд ГГ, ГР, РГ, РР. Нехай число появ герба. Величина є функцією елементарної події. Таблиця значень функції має наступний вигляд: Г Г Г Р Р Г Р Р 2 1 1 0 Функціяна називається вимірною відносно алгебри , якщо для кожного дійсного х виконана умова х. Випадковою величиною на () називається вимірна функція яка задає відображення в множину дійсних чисел R. Функцією розподілу випадкової величини називається функція F(x)={ < x}. Нехай ймовірнісний простір і випадкова величина на ньому. Показати,що кожна із множин множини є випадковою подією, тобто кожна з цих множин належить алгебрі . Показати, що P{ : x}= , P{x}= - Р{ < b}= F(b)- F( ), 2. Дискретні випадкові величини. Нехай ймовірнісний простір. Дискретною випадковою величиною називається функція на , яка набуває скінченне або зліченне число значень х1, х2, …, хn , … і є вимірною відносно алгебри. Це означає, що для кожного хі { x} (1) Дійсно, якщо для функції має місце співвідношення (1), то ця функція вимірна відносно , так як для кожного дійсного х {x}= { xі} . Крім того, якщо вимірна відносно алгебри, то за Теоремою 1 для кожного дійсного х { x }. Таким чином, якщо дискретна випадкова величина на ймовірнісному просторі , яка приймає значення х1, х2, …, хn, …, то для кожного n визначена ймовірність Рn=Р{xn} (2) Нехай – дискретна випадкова величина, яка набуває значення х1,…, хі,…. Набір чисел Р{)=xi}=pi (i=1,2,…) називають р о з п о д і л о м випадкової величини . Зрозуміло, що рі 0, . Часто розподіл випадкової величини подають у вигляді такої таблиці, в якій перераховуються значення випадкової величини разом з відповідними ймовірностями: Функція розподілу дискретної випадкової величини () визначається рівністю Сумісний розподіл випадкових величин . Нехай – дискретна випадкова величина, яка набуває значень х1, х2,…, хі,…, () – дискретна випадкова величина, яка набуває значень y1, y2,…, yі,…. Набір чисел Р{)=xi, )=yi}=pij (i=1, 2, …; j=1, 2, …) називається с у м і с н и м р о з п о д і л о м випадкових величин і (розподілом випадкового вектора ()). Мають місце такі твердження: а) рij0, б) де {pi} розподіл (), {qi} – розподіл (). Незалежні випадкові величини. Випадкові величини н а з и в а ю т ь с я н е з а л е ж н и м и, якщо для будь-яких i j P{()=xi, ()= yi} = P{()=xi} • P{()= yi}. Математичне сподівання випадкової величини. Нехай () – дискретна випадкова величина, яка набуває значень хі з імовірностями рі(і=1, 2, …). Припустимо, що ряд хірі збігається. Тоді м а т е м а т и ч н и м с п оді- в а н н я м випадкової величини () називається сума ряду М () = Якщо хірі=+, то кажуть, що випадкова величина () не має математичного сподівання. Математичне сподівання суми випадкових величин дорівнює сумі математичних сподівань. Дисперсія випадкової величини () визначається рівністю D=M[- M]2= M2-( M)2= Властивості дисперсії. 1. D=0 =соnst; 2. D 3. D(C)=c2 D; 4. D( C)= D. 5. Якщо та незалежні випадкові величини, то D()= D +D . Коєфіцієнт коваріації випадкових величин та це: Коефіцієнт кореляції. К о є ф і ц і є н т о м к о р е л я ц і ї випадкових величин і називаються Мають місце такі твердження: Схема Бернуллі. Класичні дискретні розподіли. Біномінальний розподіл. Проводяться незалежні випробовування; в кожному випробовуванні може бути два результати: «успіх» - з імовірністю p, або невдача з імовірністю 1-р=q. Нехай проведено n випробовувань. Позначимо через число «успіхів», тоді Pn(k)=P{=k}= (k=0, 1,…, n). Розподіл випадкової величини називається б і н о м і н а л ь н и м р о з п о д і л о м Б е р н у л л і, а описана вище схема носить назву схеми незалежних випробовувань, або схеми Бернуллі. Локальна теорема Муавра- Лапласа.Якщо ,то Iнтегральна теорема Муавра – Лапласа. Якщо , р –константа, то рівномірно по х1,х2 Теорема Пуассона. Якщо р=рn o та при | |
| Переглядів: 647 | |
| Всього коментарів: 0 | |