| Головна » Статті » Математика | [ Додати статтю ] |
Випадкові величини
|
1. Випадкові величини функції на просторі елементарних подій. Одним з основних понять теорії ймовірностей є поняття випадкової величини. Випадкова величина це величина, яка приймає те чи інше значення в залежності від випадку. Прикладом випадкової величини можуть бути число очок, які випали при одному підкиданні грального кубика, число попадань в ціль при n пострілах, час безвідмовної роботи приладу, дальність польоту балістичної ракети та інш. Випадкова величина є число, яке ставиться у відповідність кожному можливому наслідку експеримента. Оскільки наслідки експерименту описуються елементарними подіями, випадкову величину можна розглядати як функцію на просторі елементарних подій . Приклад. Нехай двічі підкидають монету. Простір елементарних подій має вигляд ГГ, ГР, РГ, РР. Нехай число появ герба. Величина є функцією елементарної події. Таблиця значень функції має наступний вигляд: Г Г Г Р Р Г Р Р 2 1 1 0 Функціяна називається вимірною відносно алгебри , якщо для кожного дійсного х виконана умова х. Випадковою величиною на () називається вимірна функція яка задає відображення в множину дійсних чисел R. Функцією розподілу випадкової величини називається функція F(x)={ < x}. Нехай ймовірнісний простір і випадкова величина на ньому. Показати,що кожна із множин множини є випадковою подією, тобто кожна з цих множин належить алгебрі . Показати, що P{ : x}= , P{x}= - Р{ < b}= F(b)- F( ), 2. Дискретні випадкові величини. Нехай ймовірнісний простір. Дискретною випадковою величиною називається функція на , яка набуває скінченне або зліченне число значень х1, х2, …, хn , … і є вимірною відносно алгебри. Це означає, що для кожного хі { x} (1) Дійсно, якщо для функції має місце співвідношення (1), то ця функція вимірна відносно , так як для кожного дійсного х {x}= { xі} . Крім того, якщо вимірна відносно алгебри, то за Теоремою 1 для кожного дійсного х { x }. Таким чином, якщо дискретна випадкова величина на ймовірнісному просторі , яка приймає значення х1, х2, …, хn, …, то для кожного n визначена ймовірність Рn=Р{xn} (2) Нехай – дискретна випадкова величина, яка набуває значення х1,…, хі,…. Набір чисел Р{)=xi}=pi (i=1,2,…) називають р о з п о д і л о м випадкової величини . Зрозуміло, що рі 0, . Часто розподіл випадкової величини подають у вигляді такої таблиці, в якій перераховуються значення випадкової величини разом з відповідними ймовірностями: Функція розподілу дискретної випадкової величини () визначається рівністю Сумісний розподіл випадкових величин . Нехай – дискретна випадкова величина, яка набуває значень х1, х2,…, хі,…, () – дискретна випадкова величина, яка набуває значень y1, y2,…, yі,…. Набір чисел Р{)=xi, )=yi}=pij (i=1, 2, …; j=1, 2, …) називається с у м і с н и м р о з п о д і л о м випадкових величин і (розподілом випадкового вектора ()). Мають місце такі твердження: а) рij0, б) де {pi} розподіл (), {qi} – розподіл (). Незалежні випадкові величини. Випадкові величини н а з и в а ю т ь с я н е з а л е ж н и м и, якщо для будь-яких i j P{()=xi, ()= yi} = P{()=xi} • P{()= yi}. Математичне сподівання випадкової величини. Нехай () – дискретна випадкова величина, яка набуває значень хі з імовірностями рі(і=1, 2, …). Припустимо, що ряд хірі збігається. Тоді м а т е м а т и ч н и м с п оді- в а н н я м випадкової величини () називається сума ряду М () = Якщо хірі=+, то кажуть, що випадкова величина () не має математичного сподівання. Математичне сподівання суми випадкових величин дорівнює сумі математичних сподівань. Дисперсія випадкової величини () визначається рівністю D=M[- M]2= M2-( M)2= Властивості дисперсії. 1. D=0 =соnst; 2. D 3. D©=c2 D; 4. D( C)= D. 5. Якщо та незалежні випадкові величини, то D()= D +D . Коєфіцієнт коваріації випадкових величин та це: Коефіцієнт кореляції. К о є ф і ц і є н т о м к о р е л я ц і ї випадкових величин і називаються Мають місце такі твердження: Схема Бернуллі. Класичні дискретні розподіли. Біномінальний розподіл. Проводяться незалежні випробовування; в кожному випробовуванні може бути два результати: «успіх» - з імовірністю p, або невдача з імовірністю 1-р=q. Нехай проведено n випробовувань. Позначимо через число «успіхів», тоді Pn(k)=P{=k}= (k=0, 1,…, n). Розподіл випадкової величини називається б і н о м і н а л ь н и м р о з п о д і л о м Б е р н у л л і, а описана вище схема носить назву схеми незалежних випробовувань, або схеми Бернуллі. Локальна теорема Муавра- Лапласа.Якщо ,то Iнтегральна теорема Муавра – Лапласа. Якщо , р –константа, то рівномірно по х1,х2 Теорема Пуассона. Якщо р=рn o та приГеометричний розподіл. Випадкова величина , яка набуває значень 0, 1, …, k…має геометричний розподіл з параметром р,якщо Р{=k}=(1-p)kp. Величину можна інтерпретувати як число випробувань до першої появи успіху в схемі незалежних випробувань з ймовірністю появи успіху р. Розподіл Пуассона. Випадкова величина , яка набуває значень 0, 1, …, k…має розподіл Пуассона з параметром ), якщо Р{=k} , Зазначемо, що параметр в цьому розподілі задовільняє рівності =np, де n-число випробувань, а p -ймовірність успіху. При великому числі випробувань, число успіхів, наближено розподілено по закону Пуассона, а ймовірність успіху має порядок (закон рідких подій). Задача 1.Двічі підкидають монету. Описати простір елементарних подій . Нехай число появи герба. Знайти розподіл випадкової величини , математичне сподівання М та дисперсію D. Задача 2. Випадкова величина приймає значення –1, 0 та 1 з ймовірностями, відповідно рівними та . Написати вираз та побудувати графік функції розподілу величини . Задача 3. Випадкова точка ( на площині розподілена по наступному закону: 0 1 Знайти M , M , D , D , M( -M )( - M ), -1 0,1 0,5 та коефіціент кореляції ( Відповідь =0, 44). 0 0,15 0,25 1 0,2 0,15 Задача 4. Двічі підкидабть гральний кубик.Описати простір елементарних поді. Нехай - сума очок, які випали. Знайти розподіл випадкової величини . Задача 5. Кидають два гральних кубика. Нехай -кількість очок на першому кубику, а на другому. Довести, що та - незалежні. Задача 6. Монету підкидають доки випаде герб.Описати простір елементарних подій . Нехай - число зроблених підкидань. Обчислити: а) розподіл випадкової величини ; б) (Вказівка. Елементарний наслідок є ). Задача 7.Гральний кубик підкидають 5 раз. Знайти ймовірністьтого, що два рази з’явиться число очок, яке кратне 3. Задача 8. Що більш ймовірно: виграти у гравця ( рівного собі за силою гри ) 4 партії з 8, чи 3 партії з 5 ? Задача 9.Показати, М = np; D = npq, якщо випадкова величина має біноміальний розподіл. q ймовірність невдачі, n число випробовувань, p ймовірність успіху. Задача 10.Стріляють по цілі n раз. Влучення при окремих пострілах незалежні події і ймовірність влучення при кожному пострілі дорівнює р. Нехай число влучень при n пострілах. Знайти а) розподіл , б) М та D ; Задача 11. Проведено 20 пострілів по цілі. Ймовірність влучення при одному пострілі 0,7. Обчислити: а) ймовірність того, що буде принаймі одне влучення; б) ймовірність того, що буде не більше двох влучень. Задача 12. Батарея зробила 14 пострілів по об’єкту, ймовірність влучення в який дорівнює 0,2. Обчислити ймовірність знищення об’єкту, якщо для ищення отрібно не менше 4 влучень. ( Відповідь. Р{ 0.302). Задача 13.Знайти ймовірність: а) при підкиданні 6n гральних кубиків не менше n раз з’явиться шестірка; б) появи принаймі трьох шестірок при підкиданні 18 кубиків (р=0,597). Задача 14. Якщо в середньому лівші складають 1%, то які шанси на те, що серед 200 чоловік а) виявиться рівно 4 лівші ; б) знайдеться принаймі 4 лівші. ( Вказівка.Скористатися формулою Пуассона ). Задача 15.Нехай випадкова величина, яка має геометричний розподіл з параметром р. Показати, що М та D . Задача 16. Нехай- має геометричний розподіл. Показати,що Задача 17. Випадкові величини 1 та 2 незалежні і мають той самий геометричний розподіл qkp, k = 0,1, …}. Нехай = max (1 , 2). Знайти розподіл величин та сумісний розподіл величин та . Задача 18. Нехай випадкова величина, яка має розподіл Пуассона з параметром . Довести, що М = ; D . Задача 19. Нехай та - незалежні випадкові величини, які приймають значення х1, х2,… з ймовірностями р1, р2,… та q1, q2,… відповідно. Обчислити Задача 20. Нехай випадкова величина абуває цілих невід’ємних значень, причому М . Довести, що Задача 21. Нехай 1 та 2- незалежні одинаково розподілені випадкові величини та 1+2, 1-2. Довести, що . Задача 22. Нехай 1 та 2 незалежні випадкові величини, які мають цілі значення. Довести, що Задача 23.Нехай 1 та 2 незалежні випадкові величини, які мають розподіл Пуассона з параметрами 1 та 2. Довести, що випадкова величина 1 + 2 має розподіл Пуассона з параметрами 1 + 2. Задача 24. Випадкові величини1 та 2 незалежні і мають розподіл Пуассона з параметрами 1та 2 відповідно. Показати, що Задача 25 .Випадкові величини 1 та 2 незалежні і мають один і той же геометричний розподіл. Довести, що Задача 26. Випадкові величини 1 та 2 незалежні і мають один і той же геометричний розподіл Показати, щовипадкова величина має геометричний розподіл. Знайти параиетр цього розподілу.Відповідь q=q1q2.Задача 27. Написані n листів, але адреси на конвертах написано у випадковаму порядку. Нехай - число листів, які будуть одержані тими адресатами, кому вони призначені. Обчислити М та D . Розв’язування. Нехай = 1, якщо к- тий лист одержано адресатом , або = 0, - в протилежному випадку. Тоді D = і M =1. Для обчислення D треба підрахувати M (k i). Oскільки набуває значення 1 та 0, причому Задача 28. Знайти ймовірність того, що подія А настурить рівно 70 раз в 243 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випрбуванні дорівнює 0,25. Розв’язування. Скористаємося локальною теоремою Лапласа: Так як n=243, k=70 , p=0,25, , то , Шукана ймовірність дорівнює Задача 29. Ймовірність появи події А в кожному із 100 незалежних випробовувань постійна і дорівнює р=0, 8. Знайти ймовірність того, що подія А з’явиться: а) не менше 75 раз і не більше 90 раз;б) не менше 75 разів. Розв’язування. а) Скористаємося інтегральною теоремою Муавра – Лапласа: Враховуючи, що функція Лапласа непарна, тобто одержимо Відповідь.б) )). Задача 30. Магазин одержав 1000 бутилок мініральної води. Ймовірність того, що при перевезенні бутилка дуде розбитою, дорівнює 0,003. Знайти ймоварність того, що магазин одерже розбитих бутилок: а) рівно дві; б) не менше двох; в) більше двох; г) принаймі одну. 3 Абсолютно неперервні випадкові величини. Функція розподілу випадкової величини це ймовірність F(x)=P{Задача 4. Нехай випадкова величина має нормальний розподіл N(а, 2). Показати, що . Задача 5.Випадкова величина має нормальний розподіл N(0,2). При якому ймовірність попадання в інтервал (а,b) буде максимальною? Розв’язування. Задача 6.Нехай має показниковий розподіл з параметром. Обчислити а) М ; б) D ; в) Р{1}.( Вказівка). Задача 7.Нехай випадкова величина, яка має показниковий розподіл з параметром . Знайти розподіл випадкової величини . Обчислити М. ( Відповідь.Геометричний розподіл з параметром р=1- е). Задача 8 а) Знайти М| |, якщо випадкова величина розподілена нормально з параметрами (0, 2).б) Нехай нормально розподілена з параметрами (а, 2). Обчислити М| -а|. Відповідь . Задача 9 . Нехайвипадкова величина, яка рівномірно розподілена на проміжку [-a, a]. Обчислити: а) М; б) D; в) Р{ | | > a/2 } Задача 10. Щільність випадкової величини має вигляд р(х)=Ае-х при х0 й р(х)=0 при х | |
| Переглядів: 2106 | |
| Всього коментарів: 0 | |