| Головна » Статті » Математика | [ Додати статтю ] |
Відношення порядку
|
Відношення R на множині M називається відношенням часткового (нестрогого) порядку, якщо воно рефлексивне, антисиметричне і транзитивне, тобто 1. aRa для всіх aM (рефлексивність), 2. Якщо aRb і bRa, то a = b (антисиметричність), 3. Якщо aRb і bRc, то aRc (транзитивність). Множина M, на якій задано деякий частковий порядок, називається частково впорядкованою множиною. Елементи a,bM назвемо порівнюваними за відношенням R, якщо виконується aRb або bRa. Частково впорядкована множина M, в якій будь-які два елементи є порівнюваними між собою, називається лінійно впорядкованою множиною або ланцюгом. Відповідне відношення R, задане на лінійно впорядкованій множині, називається лінійним (досконалим) порядком. Таким чином, відношення R на множині M називається відношенням лінійного порядку, якщо воно рефлексивне, антисиметричне, транзитивне і для будь-якої пари елементів a,bM виконується aRb або bRa. Для позначення відношень порядку будемо використовувати знаки і , які повторюють звичайні математичні знаки і . Тобто для відношення порядку R замість aRb будемо записувати a b або b a і читати "a менше або дорівнює b" або "b більше або дорівнює a" відповідно. Очевидно, що є оберненим відношенням до відношення . За кожним відношенням часткового порядку на довільній множині M можна побудувати інше відношення < на M, поклавши a < b тоді і лише тоді, коли ab і ab. Це відношення називається відношенням строгого порядку на множині M. Зрозуміло, що відношення строгого порядку антирефлексивне, транзитивне, а також задовольняє умові так званої сильної антисиметричності або асиметричності, тобто для жодної пари a,bM не може одночасно виконуватись aВідповідно, елемент c частково впорядкованої множини M називається нижньою гранню підмножини AM, якщо ca для будь-якого aA. Елемент c - найменший в множині M, якщо c - нижня грань самої множини M. Таким чином, вважається, що найбільший і найменший елементи, а також верхня та нижня грані (якщо вони існують), є порівнюваними з усіма елементами даної множини M або підмножини A відповідно. Елемент xM називається максимальним в множині M, якщо не існує елемента aM такого, що xПрипустімо, що це не так. Нехай в множині M існують елементи, для яких не виконується твердження T і KM - сукупність усіх таких елементів. Множина M цілком впорядкована, отже K має найменший елемент bK. Зі справедливості умови бази індукції випливає, що b не є найменшим елементом у множині M. Це означає, що в множині M існують елементи a | |
| Переглядів: 518 | |
| Всього коментарів: 0 | |