| Головна » Статті » Математика | [ Додати статтю ] |
Векторна функція скалярного аргументу. Похідна, її геометричний і механічний зміст. Кривизна кривої - реферат українською
|
План • Диференціал дуги • Кривизна плоскої кривої • Векторна функція скалярного аргументу • Кривизна плоскої кривої • Кривизна просторової кривої • Кручення просторової лінії • Формули Серре-Френе 1. Диференціал кривої Поняття довжини кривої буде розглянуто в розділі інтегрального числення. Криві, для яких можна установити поняття довжини, називають в математичному аналізі спрямними. Умова спрямності кривої для плоскої кривої, заданої параметричними рівняннями , полягає в такому: на спрямному відрізку кривої функції і мусять мати неперервні похідні за параметром : . Аналогічною є умова спрямності просторової кривої, заданої рівняннями ; вона полягає в неперервності похідних . Для всякої спрямної кривої як просторової, так і плоскої, наслідком її спрямності є така геометрична властивість: границя відношення нескінченно малої дуги кривої до стягуючої її хорди дорівнює одиниці за умови, що хорда стикується в точку. Якщо довжину малої дуги кривої позначити через , а довжину відповідної хорди – через Виходячи саме з цієї властивості, знайдемо вирази для диференціала дуги як плоскої, так і просторової кривої. На плоскій спрямній кривій, рівняння якої , візьмемо дві сусідні точки. та , що відповідають значенням параметра та Довжина хорди знаходиться за формулою Похідна від довжини дуги кривої за параметром : Замінимо його виразом за формулою Якщо крива задана рівнянням , то можна прийняти за параметр кривої: . Диференціал дуги Якщо крива задана рівнянням в полярних координатах , то за параметр кривої можна прийняти полярний кут Диференціюємо по рівності Приклади. 1. Знайти диференціал дуги циклоїди Р о з в ’ я з о к. . 2. Знайти диференціал дуги кардіоїди. Р о з в ’ я з о к. Диференціал дуги просторової кривої, заданої параметричними рівняннями , можна знайти аналогічно. Відміна від попереднього полягає лише в тому, що довжина хорди, яка з’єднує точки просторової кривої і визначається за формулою Формула диференціала дуги просторової кривої Приклад. Знайти диференціал дуги гвинтової лінії: Р о з в ’ я з о к. . Формулам (7.9) і (7.10) часто надають такого вигляду : Диференціал дуги плоскої кривої має такий геометричний зміст: він дорівнює довжині відрізка дотичної до кривої . 2.Кривизна плоскої кривої Вивчаючи ту чи іншу криву, бачимо, що в різних точках вона має неоднаковий ступінь викривлення. Так, парабола поблизу початку координат більше викривлена, ніж в точках, які знаходяться далі від початку координат. Коло в усіх своїх точках має однакове викривлення. Різні криві також відрізняються одна від одної своїм ступенем викривлення. Коло малого радіуса більше викривлено, ніж коло великого радіуса. Виникає запитання: що ж брати за міру кривизни кривої в її окремих точках? Щоб відповісти на нього, припустимо, що до кривої в кожній точці можна провести дотичну і що крива є спрямлюваною. Візьмемо на кривій дві точки і (рис. 7.6) і в цих точках проведемо дотичні прямі. Нехай дотична утворює з додатним напрямом осі кут , а пряма - кут . Довжину дуги позначимо . Модуль відношення , де - величина кута в радіанах, на який повертається дотична, коли точка переміститься вздовж кривої в точку , називається середньою кривизною дуги . Означення. Границя (якщо вона існує) середньої кривизни дуги даної кривої, коли точка наближається вздовж кривої до точки , називається кривизною кривої в точці і позначається Виведемо формулу для обчислення кривизни. Нехай крива задана в декартовій системі координат рівнянням де функція на відрізку має похідні до другого порядку включно. Скористаємося формулою . Очевидно, що коли точка, то довжина дуги . Тому формулу можна записати ще так: . З другого боку, якщо - кут, утворений дотичною до кривої в точці з додатним напрямом осі , то Підставляючи в формулу значення і значення, дістаємо формулу для кривини кривої: З цієї формули легко дістати формулу для кривизни кривої, коли остання задана параметричними рівняннями . Справді, Тоді, підставляючи значення у формулу , маємо Якщо крива задана в полярній системі координат рівнянням , то Величину, обернену до кривої в заданій точці, називають радіусом кривизни кривої і позначають через : . Коло, яке з даною кривою має в даній точці спільну дотичну, спільну кривизну і однаковий напрямок вгнутості, називається колом кривизни, а його центр – центром кривизни кривої в даній точці. Радіус кола кривизни Для всіх плоских кривих (за винятком кола) центри кривизни різні в різних точках кривої. Геометричне місце центрів кривизни даної кривої називається її еволютою, а сама крива по відношенню до еволюти називається евольвентою. | |
| Переглядів: 490 | |
| Всього коментарів: 0 | |