| Головна » Статті » Математика | [ Додати статтю ] |
Умовні ймовірності, незалежні випадкові події
|
Умовна ймовірність. Нехай ( , Р ) ймовірнісний простір. простір елементарних подій, -алгебра підмножин (-алгебра випадкових подій), Р() ймовірність, яка визначена -алгебрі підмножин , Р(В) > 0, В . Умовною ймовірністю події А (А ) при умові, що відбулася подія В , називається величина . Формула множення ймовірностей.Якщо Р(В) > 0, то Р(А В) = Р(В) Р(А В). Незалежні випадкові події. Випадкові події А та В (А , В ) називаються незалежними, якщо Р(А В) = Р(В) Р(А). Незалежні в сукупності випадкові події. Випадкові події А1 , А2 , …, Аn (Аi, i = 1, 2, …, n) називається незалежними в сукупності, якщо при будь-яких k=1, 2, …, n та і1 і2 … іk n. Якщо ці рівності виконуються при к=2, то події А1, А2,.., Аn називаються попарно незалежні. Задача 1. В урні 2 білі і 3 чорні кулі. З урни підряд виймають дві кулі. Знайти ймовірність того, що обидві кулі білі. Розв’язування. Позначемо: А- поява двох білих куль. Подія А є добутком двох подій А= А1 А2 , де А1 –поява білої кулі при першому вийманні, А2- поява білої кулі при другому вийманні. По теоремі множення ймовірностей Р ( А)= Р(А1) Р(А2/ А1)= 0,1. Задача 2. В урні 2 білі і 3 чорні кулі. З урни виймають дві кулі, але після першого виймання куля повертається в урну, і кулі в урні перемішуються, після чого виймається друга куля. Знайти ймовірність того, що обидві кулі білі. Розв’язування. В даному випадку події А1 та А2 незалежні і Р(А)= Р (А1) Р ( А2 )= =0,16. Задача 3. Серед усіх родин з двома дітьми обрано одну. Описати простір елементарних подій і випадкові події: А= { в родині є хлопчик і дівчинка }, В={ в родині не більше однієї дівчинки}. Всі елементарні події однаково ймовірні. Обчислити Р(А), Р( В), Р(А В ) і довести, що події А та В незалежні. Задача 4. Пристрій, який працює на прорязі часу t , складається з трьох вузлів, кожен з яких , незалежно один від одного, може на протязі часу t відмовити ( вийти зі строю). Відмова хоча б одного вузла приводить до відмови прибору в цілому. За час t надійність ( ймовірність безвідмовної роботи ) першого вузла дорівнює р1=О,8; другого р2=О,9; третього р3=О,7; Знайти надійність прибора в цілому. Розв’язування. Позначемо: А- безвідмовна робота прибора, А1- безвідмовна робота першого вузла, А2- безвідмовна робота другого вузла, А3 - безвідмовна робота третьго вузла, маємо: А= А1 А2 А3 , звідки по теоремі для незалежних подій Р(А)=Р(А1)Р(А2)Р(А3)=р1р2 р3= 0,504. Задача5. Скільки треба взяти гральних кубиків, щоб з ймовірністю, меньшій чим 0,3, можна було чекати, що ні на жодній грані яка випаде не з’явиться шість очок? Розв’язування. Нехай А подія- ні на жодній грані яка випаде не з’явиться шість очок; події Аі – на і-тій грані кубика, яка випала не з’явиться шість очок (і=1,2,…, n ). Тоді Р(Аі)= . Події Аі (і=1,2,…, n ) незалежні в сукупності , тому застосовується теорема множення. Р (А )=Р(А1 А2 … Аn ) =P(А1) P(А2)… P(An)= ( )n. При умові, ( )n 0,3. Таким чином, n log ( ) log 0,3. Звідки n 6, 6. Таким чином, шукане число підкидань грального кубика n 7. Задача 6 ( приклад Берштейна). На площину кидають тетраедр, три грані якого окрашені відповідно в червоний, зелений, блакитний кольори, а на четверту грань нанесені всі три кольори. Нехай подія Ч полягає в тому, що при підкиданні тетраедра на площину випала грань окрашена червоним кольором і нехай аналогічно визначені події З та Б. Оскільки кожний з трьох кольорів нанесений на дві грані, то Р( Ч)= Р (З)=Р( Б) . Далі Р(ЧЗ)=Р(ЧБ)=Р(ЗБ)= , і , таким чином , події Ч, З, Б попарно незалежні. Але ці події не є незалежні в сукупності, тому що Р(ЧЗБ)= ≠ Р(Ч)Р(З) Р(Б) . Задача 7. Підкидають два гральних кубика. Розглянемо випадкові події: A 1- на першому кубику випало парне число очок; A 2- на другому кубику випало непарне число очок ; A 3- сума очок на кубиках непарна. Довести, що події A 1, A 2, A 3 попарно незалежні, але не є незалежними в сукупності. Задача 8. Довести, що якщоА та В незалежні, то й В , А й , й - теж незалежні ( спадкова властивість незалежності ). Задача 9 Події А та В1 й А та В2 – незалежні, причому В1 та В2 несумісні. Довести, що події А та В1 В2 –незалежні. Задача 10. З множини всіх родин, які мають двох дітей обрано одну родину. Всі елементарні події одинаково ймовірні. Яка ймовірність того що: a) в цій родині два хлопчики, якщо відомо, що в ній є один хлопчик? б) в родині два хлопчики, якщо відомо, що старша дитина хлопчик ? Задача 11. Відомо, що 5% чоловіків і 0,25% всіх жінок- дальтоники. Навмання обрана особа- дальтоник. Яка ймовірність того, що це чоловік ? ( Вважати, щочоловіків і жінок одинакова кількість) ( Вказівка. Розглянути випадкові події: A-обрана особа є чоловік; В-Обрана особа є жінкою; С-обрана особа дальтоник . Відповідь р= ). Задача12. В цеху працюють сім чоловіків та три жінки. По табельним номерам навмання відібрані три чоловіка. Знайти ймовірність того, що всі відібрані особи виявляться чоловіками. Розв’язування. Нехай подія А-першим відібраний чоловік; B- другим відібраний чоловік; С - третім відібраний чоловік. Р (А)= ; Р (В/А)= = - ймовірність того, що другим був відібраним чоловік, при умові, що першим вже був відібраний чоловік ; Р ( С/ A B)= - ймовірність того, що третім був відібраним чоловік, при умові, що вже відібрані два чоловіка. Шукана ймовірність того, що всі три вибрані особи будуть чоловіками, Р(А В С)= P(A) Р(B/A) P(C/A B)= . Задача 13. Довести, що Р(А1 А2 … Аn )=P (А1) P(Ak+1 / A1 … Ak). ( Вказівка. Скористатися методом математичної індукції). Задача 14.Події А1, А2, …,Аn незалежні в сукупності і Р(Ак)=рк. Яка ймовірнсть того, що відбудеться принаймі одна з подій А1,А2 ,…,Аn. Задача 15. При одному циклі огляду раділокаційної станції, що стежить за космічним об’єктом , об’єкт буде виявлено з ймовірністю р. Виявлення об’єкта в кожному циклі відбудеться незалежно від інших. Проведено n циклів огляду. Яка ймовірність того, що об’єкт буде виявлено? Відповідь. р=1-(1-р)n. | |
| Переглядів: 984 | |
| Всього коментарів: 0 | |