| Головна » Статті » Математика | [ Додати статтю ] |
Соболівські простори і узагальнені розв'язки крайових задач
|
Нехай відкрита обмежена множина (область) дійсного -мірного евклідового простору , який складається з точок . Границею області будемо називати множину \ , де - замикання . Будемо говорити, що належить класу (тобто є разів неперервно диференційовною), якщо для кожної точки можна вказати кулю радіуса з центром в точці , таку що множину , при відповідній нумерації, можна задати рівнянням вигляду де - разів неперервно диференційовна функція точки . Куском границі будемо називати будь-яку відкриту множину . Будемо казати, що границя кусково разів неперервно диференційовна, якщо співпадає із замиканням об'єднання , де - деякий кусок на , який є зв'язною поверхнею класу . У подальшому термін "кусково-гладка" або "досить гладка" границя будемо застосовувати у тому сенсі, що разів кусково-диференційовна, а число визначається тією задачею, яка буде розглядатися. Приклад 1. Розглянемо множину вигляду . Позначимо через і множини і - відкриті підмножини , тобто куски. Далі, ці куски є зв'язними поверхнями класу , оскільки функції нескінченно-диференційовні у своїй області визначення. Крім того, неважко помітити, що . З цих міркувань випливає, що кусково нескінченну кількість разів диференційовна поверхня. л Для досить гладкої функції покладемо де - вектор з цілочисловими невід'ємними компонентами. Символом будемо позначати порядок похідної, тобто . Введемо далі простір як простір нескінченно-диференційовних функцій з компактним носієм, розташованим строго всередині . Таким чином, будь-яка функція з нескінченну кількість разів диференційовна, причому існує компактна множина , поза якої ця функція дорівнює нулеві. Означення 1. Кажуть, що функція , є похідною порядку у сенсі С.Л. Соболєва від функції , якщо має місце рівність Похідну в сенсі С.Л. Соболєва ще будемо називати узагальненою похідною і позначати символом . Приклад 2. Тут ми скористалися умовою За означенням отримуєм, що Позначимо через множину всіх функцій з , узагальнені похідні порядку яких належать простору . Неважко показати, що простір з нормою - гільбертовий. Простір називається ще соболівським. Соболівський простір можна одержати також поповненням простору разів неперервно диференційовних функцій аж до кусково-гладкої границі за нормою . Поповнення простору за нормою називається соболівським простором . Визначимо також простір як поповнення простору відносно норми. Означення 2. Кажуть, що банахів простір цілком неперервно вкладається у банахів простір , якщо всі елементи простору належать також і простору , крім того, з будь-якої обмеженої послідовності простору можна виділити збіжну в сенсі норми простору підпослідовність. Приклад 3. Покажемо, що простір цілком неперервно вкладається у простір неперервних на відрізку функцій. Нехай . Тоді для маємо, що Звідки, інтегруючи по від до , одержимо, що Використовуючи нерівність Гьольдера, одержимо, що де - деяка константа. Таким чином, якщо послідовність фундаментальна в метриці , то вона буде фундаментальною і в метриці , тобто поповнення простору за метрикою буде складатися з неперервних функцій, а, отже, Нехай далі послідовність обмежена в . Згідно з доведеною нерівністю ця послідовність буде рівномірно обмеженою і в просторі . З нерівності де , випливає рівностепенева неперервність обмеженої множини функцій. В такому випадку з теореми Арцела випливає, що з послідовності можна виділити збіжну в підпослідовність. Таким чином, цілком неперервність вкладення показана. Наведем далі один результат про цілком неперервність вкладення соболівських просторів. Теорема 1. Нехай обмежена область має кусково-гладку границю і . Тоді простір цілком неперервно вкладається в простір . Позначимо далі через циліндр висоти у просторі , тобто множина вигляду . Через , де - ціле додатне число, будемо позначати множину функцій з простору , у яких існують і належать простору узагальнені похідні при . Через будемо позначати множину всіх функцій з простору , у яких існують і належать простору узагальнені похідні при усіх цілих і невід'ємних таких, що . Тут - ціле невід'ємне число. Простори і - гільбертові з нормами Нехай - обмежена область у просторі з кусково-гладкою границею , а функція . Розглянемо крайову задачу належать простору сумовних, майже скрізь обмежених в області функцій, причому існує таке, що і майже скрізь в . Означення 3. Узагальненим розв'язком крайової задачі (6) будемо називати таку функцію з простору , яка задовольняє інтегральну тотожність Функцію , яка задовольняє співвідношення (7), називають також узагальненим розв'язком першої крайової задачі або задачі Діріхле. Має місце така теорема.Теорема 2. Для будь-якої функції існує єдиний узагальнений розв'язок задачі (1.6) і при цьому де додатна константа не залежить від функції , а символами позначені норми в просторах і відповідно. Намітимо доведення цієї теореми у тому випадку, коли . Доведення. Білінійна форма в силу зроблених припущень буде симетричною і неперервною на просторі . За допомогою цієї форми можна ввести новий скалярний добуток у просторі за формулою , який буде еквівалентним вихідному скалярному добуткові . Зауважимо далі, що функціонал обмежений у просторі , оскільки За теоремою Ріса (про загальний вигляд лінійного обмеженого функціоналу в гільбертовому просторі) в просторі існує єдина функція , для якої що і доводить існування і єдиність узагальненого розв'язку. Нехай знову обмежена область має кусково-гладку границю . Через позначимо простір вимірних за мірою Лебега функцій, інтегровних з квадратом по границі . Для функцій з простору існує лінійний неперервний оператор , що відображує простір у простір , який називається слідом функцій на границі і позначається одним з символів або . Крім того, оператор переводить будь-яку обмежену множину функцій з в компактну в просторі . Розглянемо далі наступну крайову задачу (8) де -й напрямний косинус зовнішньої нормалі до границі . Задачу (8) називають третьою, а при другою крайовою задачею. Крім умов, накладених на коефіцієнти і , ми будемо припускати також, що - вимірна, невід'ємна і обмежена майже скрізь функція, а функція . Означення 4. Під узагальненим розв'язком задачі (8) будемо розуміти таку функцію , яка задовольняє співвідношення Має місце наступна теорема. Теорема 3. Припустимо, що одна з функцій або не дорівнює нулеві тотожно. Тоді існує єдиний узагальнений розв'язок задачі (1.8) і при цьому має місце нерівність де константа не залежить від функцій і. Приклад 4. Розглянемо рівняння і граничні умови Покажемо, що узагальненим розв'язком цієї крайової задачі є функція тобто що виконується співвідношення Враховуючи, що, будемо мати що і треба було довести. Нехай - обмежена область з кусково-гладкою границею - бокова поверхня циліндра , тобто . Позначимо через і множини . Розглянемо в циліндрі параболічне рівняння з початковою умовою В залежності від вигляду граничних умов кажуть про першу або третю (другу при ) змішану крайову задачу для рівняння (10). Нехай функція . Дамо наступне означення. Означення 4. Функція , яка належить простору , називається узагальненим розв'язком першої змішаної крайової задачі для рівняння з початковими умовами, якщо і виконується співвідношення для будь-якої функції , яка задовольняє умовам . Зауважимо, що співвідношення (1.14) можна переписати у вигляді де - слід функції на множині. Означення 6. Функція, яка належить простору , називається узагальненим розв'язком третьої (другої при ) змішаної крайової задачі для рівняння з початковою умовою (11), якщо і такої, що , виконується співвідношення - слід функції на границі , Нехай на функції накладені ті ж умови, що і раніше, а функції - вимірні інтегровні з квадратом у відповідних областях, тобто . Тоді має місце наступна теорема. Теорема 4. Існує єдиний узагальнений розв'язок змішаних крайових задач і при цьому для першої крайової задачі виконується нерівність а відповідно для другої і третьої крайової задачі виконується нерівність де невід'ємні константи і не залежать від функцій . Нехай а - узагальнені розв'язки першої і третьої змішаних крайових задач.Тоді для цих функцій має місце представлення де ряд збігається у просторі і а - узагальнені власні функції і власні числа першої і третьої крайових задач для оператора , тобто функції, які визначаються з співвідношень відповідно. Розглянемо далі деякі властивості функцій з простору і наведем еквівалентні означення узагальнених розв'язків змішаних задач. Позначимо через простір, отриманий поповненням гільбертового простору за нормою де . Простір - гільбертів, причому . Зауважимо також, що якщо , то можна визначити білінійну форму, де - послідовність функцій з простору , яка збігається за нормою до функції . Очевидно, що якщо , то . У подальшому білінійну форму ми формально будемо записувати у вигляді Нехай функція . Тоді цій функції ми можемо поставити у відповідність узагальнену функцію за правилом Утотожнимо далі функцію з узагальненою функцією . Отже, для функції можна визначити похідні за часом за формулою Введемо простір Цей простір є гільбертовим з нормою Крім того, має місце Теорема 5. Простір вкладається у простір неперервних функцій на відрізку зі значеннями у просторі і цілком неперервно вкладається у простір . Зауважимо також, що якщо , то має місце формула інтегрування за частинамиУ цій відповідності ми скористалися формальним записом білінійної форми і у вигляді інтегралів. Можна показати, що якщо є узагальненим розв'язком третьої (другої) змішаної крайової задачі, то і справедливе співвідношення Крім того, якщо функція , яка належить простору , задовольняє співвідношенню і , то вона є узагальненим розв'язком відповідної крайової задачі. У більш загальному випадку справедлива Теорема 6. Нехай задане сімейство білінійних форм неперервних на замкненому підпросторі простору і припустимо, що форма при фіксованих і вимірна на , причому існують такі константи і, що де Тоді якщо , лінійний функціонал неперервний на просторі , то у просторі існує єдина неперервно залежна від вихідних даних функція , яка задовольняє співвідношення У якості наслідків з цієї теореми можна одержати умови розв'язності змішаних крайових задач. Тка, якщо покласти, то отримаємо умову розв'язності першої змішаної крайової задачі, а якщо покласти, то одержимо умову розв'язності третьої крайової задачі. | |
| Переглядів: 488 | |
| Всього коментарів: 0 | |