| Головна » Статті » Математика | [ Додати статтю ] |
Розклад числа на прості множники
|
Означення. Розкладом натурального числа n на прості множники (факторизацією числа) називається представлення його у вигляді n = , де pi – взаємно прості числа, ki 1 . Задача перевірки числа на простоту є простішою за задачу факторизації. Тому перед розкладанням числа на прості множники слід перевірити число на простоту. Означення. Розбиттям числа називається задача представлення натурального числа n у вигляді n = a * b, де a, b – натуральні числа, більші за 1 (не обов’язково прості). Метод Ферма Нехай n – складене число, яке не є степенем простого числа. Метод Ферма намагається знати такі натуральні x та y, що n = x2 – y2. Після чого дільниками числа n будуть a = x – y та b = x + y: n = a * b = (x – y)(x + y). Якщо припустити що n = a * b, то в якості x та y (таких що n = x2 – y2) можна обрати , Приклад. Виберемо n = 143 = 11 * 13. Тоді x = (13 + 11) / 2 = 12, y = (13 – 11) / 2 = 1. Перевірка: x2 – y2 = 122 – 11 = 143 = n. Теорема. Якщо n = x2 – y2, то < x < (n + 1) / 2. Доведення. З рівності n = x2 – y2 випливає, що n < x2, тобто < x. Оскільки a = n / b, то . Максимальне значення x досягається при мінімальному b, тобто при b = 1. Звідси x = < . Отже для пошуку представлення n = x2 – y2 слід перебрати всі можливі значення x із проміжку [ , (n + 1) / 2], перевіряючи при цьому чи є вираз x2 - n повним квадратом. Приклад. Розкласти на множники n = 391 методом Ферма. = 19. 202 – 391 = 9 = 32. Маємо рівність: 391 = 202 – 32. Звідси 391 = (20 – 3)(20 + 3) = 17 * 23. Алгоритм Полард - ро факторизації числа У 1974 році Джон Полард запропонував алгоритм знаходження нетривіального дільника натурального числа n. Пр цьому алгоритм використовує лише операції додавання, множення та віднімання модулярної арифметики. Ідея алгоритма Полард – ро полягає в ітеративному обчисленні деякої наперед заданої поліноміальної функції f з цілими коефіцієнтами. Побудуємо послідовність xi наступним чином: x0 оберемо довільним із Zn, а xi+1 = f(xi) mod n, i 0. Оскільки xi можуть приймати лише скінченний набір значень (цілі числа від 0 до n), то існують такі цілі n1 та n2 (n1 < n2), що = . Враховуючи поліноміальність f, для кожного натурального k маємо: = , тобто починаючи з індекса i = n1 послідовність {xi mod n} буде періодичною. Приклад. Нехай n = 21, x0 = 1, xi+1 = + 3 mod 21. Тоді послідовність xi має вигляд: 1, 4, 19, 7, 10, 19, 7, 10, ... . Таким чином x3 = x6, період послідовності дорівнює 3. Послідовність xi можна відобразити у вигляді кола з хвостом: коло відповідає періодичній частині, а хвіст – доперіодичній. Картинка нагадує грецьку літеру , тому метод який застосовується в алгоритмі називається – евристикою. Послідовність із попереднього прикладу можна зобразити так: Ідея алгоритму полягає в обчисленні для кожного i > 0 значення d = НСД(x2i – xi, n). Якщо на деякому кроці d > 1, то це і є нетривіальний дільник числа n. Побудуємо послідовність елементів xi наступним чином: x0 = 2, xi+1 = f(xi) = ( + 1) mod n, i > 0 Алгоритм Вхід: натуральне число n, параметр t 1. Вихід: нетривіальний дільник d числа n. 1. a =2, b =2; 2. for i 1 to t do 2.1. Обчислити a a2 + 1) mod n; b b2 + 1) mod n; b b2 + 1) mod n; 2.2. Обчислити d НСД(a - b, n); 2.3. if 1 < d < n return (d); // знайдено нетривіальний дільник 3. return (False); // дільника не знайдено Вважаємо, що функція f(x) = (x2 + 1) mod n генерує випадкові числа. Тоді для знаходження дільника числа n необхідно виконати не більш ніж O( ) операцій модулярного множення. Якщо алгоритм Поларда – ро не знаходить дільника за t ітерацій, то замість функції f(x) = (x2 + 1) mod n можна використовувати f(x) = (x2 + c) mod n, для деякого цілого c, c 0, -2. Приклад. Нехай n = 19939. Послідовність xi: 2, 5, 26, 677, 19672, 11473, 12391, 6582, 15217, 5483, 15217, 5483, 15217, ... . a b d 2 2 1 5 26 1 26 19672 1 677 12391 1 19672 15217 1 11473 15217 1 12391 15217 157 Знайдено розклад 19939 = 157 * 127. Нехай n = 143. Послідовність xi: 2, 5, 26, 105, 15, ... . a b d 2 2 1 5 26 НСД(21, 143) = 1 26 15 НСД(11, 143) = 11 Знайдено розклад 143 = 11 * 13. Ймовірносний квадратичний алгоритм факторизації числа Твердження. Нехай x та y – цілі числа, x2 y2 (mod n) та x y (mod n). Тоді x2 – y2 ділиться на n, при чому жоден із виразів x + y та x – y не ділиться на n. Число d = НСД(x2 – y2, n) є нетривіальним дільником n. Теорема. Якщо n – непарне складене число, яке не є степенем простого числа, то завжди існують такі x та y, що x2 y2 (mod n), при чому x y (mod n). Доведення. Нехай n = n1 * n2 – добуток взаємно простих чисел. Оберемо таке y, що НСД(y, n) = 1. Далі розв’яжемо систему рівнянь:Розв’язком системи будуть такі x та y за модулем n = НСК(n1, n2), що x2 y2 (mod n). Якщо при цьому припустити, що x – y (mod n), то з другого рівняння системи маємо: y – y (mod n2), або 2 * y = 0 (mod n2). Оскільки було обрано НСД(y, n2) = 1, то з останньої рівності випливає що n2 ділиться на 2, тобто є парним. Це суперечить умові теореми про непарність n. Приклад. Виберемо n1 = 11, n2 = 13 – взаємно прості числа. Тоді n = 11 * 13 = 143. Покладемо y = 5, НСД(5, 143) = 1. Складемо систему порівнянь: або Розв’язком системи буде x 60 (mod 143). Має місце рівність 602 52 (mod 143) , при чому 60 5 (mod 143). Тоді дільником числа n буде d = НСД(60 – 5, 143) = 11. Формально ймовірносний квадратичний алгоритм факторизації будується на наступній ідеї: Нехай F = {p0, p1, p2, …, pt} – множникова основа, pi – різні прості числа, при чому дозволяється обрати p0 = -1. Побудуємо множину порівнянь zi , таку що значення zi є повіністю факторизованими у множині F : , та добуток деякої підмножини значень zi є повним квадратом: z = = y2, y Z, fi {0, 1} Якщо множина порівнянь із вказаними властивостями побудована, то поклавши x = і перевіривши виконання нерівності x y (mod n), отри маємо x2 y2 (mod n). Число d = НСД(x2 – y2, n) є нетривіальним дільником n. Приклад. Знайти дільник числа n = 143. Обираємо випадково число x [2, 142], обчислюємо x2 (mod 143) та розкладаємо результат на множники: 1. z1 = 192 (mod 143) = 75 = 3 * 52. 2. z2 = 772 (mod 143) = 66 = 2 * 3 * 11. 3. z3 = 292 (mod 143) = 126 = 2 * 32 * 7. 4. z4 = 542 (mod 143) = 56 = 23 * 7. Можна помітити, що добуток z3 та z4 є повним квадратом: z = z3 * z4 = 24 * 32 * 72 = (22 * 3 * 7)2 = 842 Маємо рівність: z3 * z4 = 292 * 542 842 (mod 143) або враховуючи що 29 * 54 (mod 143) 136, маємо: 1362 = 842 (mod 143), при чому 136 84 (mod 143) Дільником числа n = 143 буде d = НСД(136 – 84, 143) = НСД(52, 143) = 13. Квадратичний алгоритм факторизації Серед усіх існуючих алгоритмів факторизації найшвидшим є квадратичний. Він ефективно застосовується для чисел, кількість цифр яких менша за 100 та які не мають малих простих дільників. Еврістичний аналіз, проведений Померансом [1] у 1981 році показав, що число N може бути розкладено на множники за час . Нехай n – число, яке факторизується, m = . Розглянемо многочлен q(x) = (x + m)2 - n Квадратичний алгоритм обирає ai = x + m (x = 0, 1, 2, …), обчислює значення bi = (x + m)2 – n та перевіряє, чи факторизується bi у множниковій основі F = {p0, p1, p2, …, pt}. Помітимо, що = (x + m)2 – n (x + m)2 (mod n) bi (mod n). Алгоритм Вхід: натуральне число n, яке не є степенм простого числа. Вихід: нетривіальний дільник d числа n. 1. Обрати множникову основу F = {p0, p1, p2, …, pt}, де p0 = -1, pi – i - те просте число p, для якого n є квадратичним лишком за модулем p. 2. Обчислити m = [ ]. 3. Знаходження t + 1 пари (ai, bi). Значення x перебираються у послідовності 0, 1, 2, … . Покласти i 1. Поки i t + 1 робити: 3.1. Обчислити b = q(x) = (x + m)2 – n та перевірити, чи розкладається b у множниковій основі F. Якщо ні, обрати наступне x та повторити цей крок. 3.2. Нехай b = . Покласти ai = x + m, bi = b, vi = (vi1, vi2, …, vit), де vij = eij mod 2, 1 j t. 3.3. i i + 1. 4. Знайти підмножину T {1, 2, …, t + 1} таку що = 0. 5. Обчислити x = mod n. 6. Для кожного j, 1 j t, обчислити lj = ( ) / 2. 7. Обчислити y = mod n. 8. Якщо x y (mod n), знайти іншу підмножину T {1, 2, …, t + 1} таку що = 0 та перейти до кроку 5. 9. Обчислити дільник d = НСД(x – y, n). Приклад. Розкласти на множники n = 24961. 1. Побудуємо множникову основу: F = {-1, 2, 3, 5, 13, 23} 2. m = 157. 3. Побудуємо наступну таблицю: i x q(x) факторизація q(x) ai vi 1 0 -312 -23 * 3 * 13 157 (1, 1, 1, 0, 1, 0) 2 1 3 3 158 (0, 0, 1, 0, 0, 0) 3 -1 -625 -54 156 (1, 0, 0, 0, 0, 0) 4 2 320 26 * 5 159 (0, 0, 0, 1, 0, 0) 5 -2 -936 -23 * 32 * 13 155 (1, 1, 0, 0, 1, 0) 6 4 960 26 * 3 * 5 161 (0, 0, 1 ,1, 0, 0) 7 -6 -2160 -24 * 33 * 5 151 (1, 0, 1, 1, 0, 0) 4. Виберемо T = {1, 2, 5}, оскільки v1 + v2 + v5 = 0. 5. Обчислимо x = (a1a2a5) (mod n) = 936 = 26 * 34 * 132. 6. l1 = 1, l2 = 3, l3 = 2, l4 = 0, l5 = 1, l6 = 0. 7. y = -23 * 32 * 13 (mod n) = 24025. 8. Оскільки 936 –24025 (mod n), необхідно шукати іншу множину T. 9. Виберемо T = {3, 6, 7}, оскільки v3 + v6 + v7 = 0. 10. Обчислимо x = (a3a6a7) mod n = 23405 = 210 * 34 * 56. 11. l1 = 1, l2 = 5, l3 = 2, l4 = 3, l5 = 0, l6 = 0. 12. y = -25 * 32 * 53 (mod n) = 13922. 13. 23405 13922 (mod n). d = НСД(x – y, n) = НСД(9483, 24961) = 109 – дільник. Відповідь: 109 – дільник 24961. | |
| Переглядів: 823 | |
| Всього коментарів: 0 | |