| Головна » Статті » Математика | [ Додати статтю ] |
Рівняння в повних диференціалах
|
1. Загальна теорія Якщо ліва частина диференціального рівняння є повним диференціалом деякої функції, тобто і, таким чином, рівняння приймає вигляд то рівняння називається рівнянням в повних диференціалах. Звідси вираз є загальним інтегралом диференціального рівняння. Критерієм того, що рівняння є рівнянням в повних диференціалах, тобто необхідною та достатньою умовою, є виконання рівності Нехай маємо рівняння в повних диференціалах. Тоді Звідси де - невідома функція. Для її визначення продиференціюємо співвідношення по і прирівняємо Остаточно, загальний інтеграл має вигляд Як відомо з математичного аналізу, якщо відомий повний диференціал то можна визначити, взявши криволінійний інтеграл по довільному контуру, що з’єднує фіксовану точку і точку із змінними координатами . Більш зручно брати криву, що складається із двох відрізків прямих. В цьому випадку криволінійний інтеграл розпадається на два простих інтеграла В цьому випадку одразу одержуємо розв’язок задачі Коші. 2. Множник, що Інтегрує В деяких випадках рівняння не є рівнянням в повних диференціалах, але існує функція така, що рівняння вже буде рівнянням в повних диференціалах. Необхідною та достатньою умовою цього є рівність Таким чином замість звичайного диференціального рівняння відносно функції одержимо диференціальне рівняння в частинних похідних відносно функції . Задача інтегрування його значно спрощується, якщо відомо в якому вигляді шукати функцію , наприклад де - відома функція. В цьому випадку одержуємо Після підстановки в рівняння маємо Розділимо змінні Проінтегрувавши і поклавши сталу інтегрування одиницею, одержимо: Розглянемо частинні випадки. 1) Нехай . Тоді І формула має вигляд 2) Нехай . Тоді І формула має вигляд 3) Нехай .Тоді І формула має вигляд 4) Нехай . Тоді І формула має вигляд | |
| Переглядів: 449 | |
| Всього коментарів: 0 | |