| Головна » Статті » Математика | [ Додати статтю ] |
Похідні і диференціали вищих порядків. Функції, задані параметрично, їх диференціювання
|
План • Похідні вищих порядків • Диференціали вищих порядків. • Похідна другого порядку від функції, заданої параметрично. 6.9. Похідні вищих порядків Нехай функція задана на деякому проміжку і нехай всередині цього проміжку вона має похідну . Тоді може трапитися випадок, що , будучи функцією від , в деякій точці , а можливо, і в усіх точках цього проміжку, в свою чергу, має похідну. Цю похідну називають похідною другого порядку, або другою похідною, від функції в точці . Похідна другого порядку позначається одним із символів: Отже, за означенням похідна другого порядку є похідна першого порядку від похідної першого порядку, тобто Звідси випливає таке правило знаходження похідної другого порядку: щоб знайти від функції похідну другого порядку, треба знати спочатку від цієї функції похідну першого порядку , а потім від похідної знайти ще похідну першого порядку. Інакше кажучи, щоб знайти , треба функцію продиференціювати два рази. Приклад. Знайти від функції . Р о з в ’ я з о к. Знаходимо : Для знаходження цей результат диференціюємо ще раз. Маємо Зауваження. Якщо рух матеріальної точки відбувається за законом то, як вже було з’ясовано, дорівнює швидкості точки в даний момент часу: Тоді прискорення визначають як похідну першого порядку від швидкості. Отже, похідній другого порядку можна дати механічну інтерпретацію, а саме: її можна тлумачити як величину, що дорівнює прискоренню рухомої точки в даний момент часу. Подібно до того як ми означили похідну другого порядку, визначається й похідна третього порядку. Нехай у кожній внутрішній точці проміжку існує похідна другого порядку . Отже, є функція . Припустимо, що в деякій внутрішній точці має похідну першого порядку . Похідна першого порядку від похідної другого порядку називається похідною третього порядку, або третьою похідною в точці, і позначається одним із символів: Отже, за означенням Звідси й випливає правило знаходження похідної третього порядку, треба функцію послідовно три рази продиференціювати. Приклад. Знайти від функції . Р о з в ’ я з о к. Знаходимо. Цей результат ще раз диференціюємо, тобто шукаємо Продиференціювавши ще раз, знаходимо похідну третього порядку: Від похідної третього порядку можна перейти до похідної четвертого порядку, а від похідної четвертого порядку – до похідної п’ятого порядку і т. д. Взагалі, якщо припустити, що від функції вже визначена похідна - го порядку і остання існує в кожній внутрішній точці проміжку, то можна дати означення похідної - го порядку від функції в точці. Означення. Похідна першого порядку, якщо вона існує, від похідної - го порядку називається похідною - го порядку, або - ю похідною, позначається одним із символів: Отже, згідно з означенням похідної - го порядку маємо таку рівність: а звідси й випливає правило знаходження похідної - го порядку: щоб знайти похідну - го порядку, треба функцію продиференціювати послідовно раз. Зауважимо, що похідні від першого до четвертого порядку позначають так. Похідні п’ятого, шостого і т. д. - го порядку. 6.10. Диференціали вищих порядків Розглянемо на деякому проміжку функцію , яка на цьому проміжку має похідні до - го порядку включно. Тоді для такої функції в кожній точці проміжку існує диференціал У подальшому диференціал називатимемо диференціалом першого порядку, або першим диференціалом від функції . Диференціал першого порядку є функція від і отже, якщо функція є, в свою чергу диференційованою на проміжку , то вона (або, те саме, ) має диференціал. Цей диференціал називають диференціалом другого порядку, або другим диференціалом від функції , і позначають . Отже, за означенням . Підставимо в цю рівність . Матимемо Оскільки є приріст аргументу і є величина стала, то його можна виносити за знак операції диференціювання. Отже, дістаємо такі формули для диференціала другого порядку: . Аналогічно визначаються диференціали третього, четвертого і т. д. порядків. Зокрема, якщо для функції уже означений диференціал - го порядку - й диференціал то диференціалом - го порядку, або - м диференціалом від функції називається диференціал першого порядку від диференціала - го порядку. Диференціал - го порядку визначається символом . Отже, згідно з означенням Використовуючи формулу диференціала першого порядку, можна вивести таку формулу для диференціала - го порядку: При розгляданні диференціала першого порядку була доведена його інваріантна властивість: форма диференціала не змінюється і в тому випадку, коли аргумент функції є, в свою чергу, деякою функцією від . Виявляється, що диференціали вищих порядків такої властивості не мають. Покажемо це на прикладі диференціала другого порядку. Нехай маємо складну функцію , де функції і мають похідні за своїми аргументами до другого порядку включно. Тоді має диференціал,де - похідна за аргументом. Знайдемо. Згідно з означенням Оскільки диференціал першого порядку має інваріантну властивість, то Остаточно дістанемо таку рівність: Порівнюючи формули (6.75) та (6.77), виводимо, що формула диференціала другого порядку змінюється. У формулі (6.70) є новий доданок, який у випадку не дорівнює нулю. Якщо функція задана параметрично то її друга похідна обчислюється за формулою | |
| Переглядів: 694 | |
| Всього коментарів: 0 | |