| Головна » Статті » Математика | [ Додати статтю ] |
Похідна суми, добутку та частки з наведеними прикладами - реферат українською
|
Теорема: Якщо функції u(x) і (x) мають похідні у всіх точках інтервалу a; b, то (u(x)(x))’ = u’(x)’(x) для любого х є a; b[. Кортше, (u)’ = u’ Доведення: Суму функцій u(x)+(x), де х є a; b, яка представляє собою нову функцію, позначим через f(x) і найдем похідну цієї функції, Нехай х0 – деяка точка інтервала a; b. Тоді Також, Так як х0 – допустима точка інтервала a; b, то маєм: Випадок добутку розглядається аналогічно. Теорема доведена. Наприклад, а) б) в) Зауваження. Методом математичної індукції доводиться справедливість формули (u1(x) + u2 (x) +… кінцевого числа складених. Теорема. Якщо функції u(x) і (x) мають похідні у всіх точках інтервала a; b, то для любого х є a; b. Коротше, Доведення. Позначим похідні через х є a; b, і найдем похідну цієї функції, виходячи із опреділення. Нехай х0 – деяка точка інтервала a; b. Тоді Навіть так як то Так як х0 – вільна точка інтервала a; b, то маєм Теорема доведена. Приклад, Наслідок. Постійний множник можна виносити за знак похідної: Доведення. Застосувавши множник можна виносити за знак теорему про похідну де а – число, отримаєм Приклади. а) б) Похідна частки двох функцій . Теорема. Якщо функції мають похідні у всіх точках інтервалу a; b, причому для любого х є a; b, то для любого х є a; b. Доведення. Позначим тимчасово через найдем використовуючи опреділення похідної. Нехай х0 – деяка точка інтервала a; b. Тоді, Навіть, так як і послідовно Так як х0 – вільна точка інтервалу a; b, то в послідній формулі х0 можна замінити на х. Теорема доведена. Приклади. Формули (3) (стор 20) [2] | |
| Переглядів: 587 | |
| Всього коментарів: 0 | |