| Головна » Статті » Математика | [ Додати статтю ] |
Основні властивості означеного інтеграла. Формула Ньютона-Лейбніца
|
Основні властивості означеного інтеграла. Формула Ньютона-Лейбніца План Інтегрування підстановкою у визначеному інтегралі Інтегрування частинами у визначеному інтегралі 1. Інтегрування підстановкою у визначеному інтегралі Теорема . Рівність (9.6) що є аналогічною формулі (9.6), завжди правильна, якщо виконуються такі умови: 1) функція неперервна на інтервалі ; 2) функція визначена і неперервна в деякому інтервалі і не виходить за межі проміжку , коли змінюється в ; 3) 4) існує в неперервна похідна Д о в е д е н н я. Якщо - первісна від функції , то ми можемо записати такі рівності: Справедливість другої рівності перевіряється диференціюванням обох частин по Із першої рівності отримаємо Із другої рівності будемо мати Праві частини останніх виразів рівні, отже, будуть рівні і їх ліві частини. Тут варто зазначити, що в разі інтегрування підстановками повертатися до старої змінної не треба. Слід тільки пам'ятати, що в разі кожної заміни змінної потрібно обчислювати нові границі інтегрування. Приклад . Обчислити Р о з в ' я з о к. Зробимо заміну тоді Якщо то якщо то Тоді 2. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі Нехай функції і диференційовані функції від . Тоді Інтегруючи обидві частини цієї рівності в межах від до одержимо Оскільки то , тому будемо мати або (9.7) Основні випадки, в яких ця формула повинна застосовуватися, висвітлені в п.8.3.4. Формула (9.7) аналогічна формулі інтегрування частинами в невизначеному інтегралі (8.2) . Приклад 1. Обчислити Р о з в ' я з о к. Інтегруємо частинами: Приклад 2. Обчислити Р о з в ' я з о к. Матимемо таке рекурентне співвідношення: При одержимо при . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . при Для непарних також можна отримати значення інтеграла, здійснивши інтегрування частинами два рази, рекурентне співвідношення, подібне до одержаного за парних , а це дасть можливість обчислити інтеграл за будь-яких непарних . Пропонується читачеві все це проробити самостійно. | |
| Переглядів: 606 | |
| Всього коментарів: 0 | |