| Головна » Статті » Математика | [ Додати статтю ] |
Основні означення та факти з теорії визначників - реферат українською
|
Визначники другого та третього порядку. Означення. Визначником другого порядку називається число, яке обчислюється за правилом = x1y2 – x2y1. Означення. Визначником третього порядку називається число, яке обчислюється за правилом x1y2z3 +x2y3z1 + x3y1z2 - x3y2z1 - x2y1z3 - x1y3z2. Поняття матриці. Матрицею порядку m x n називається прямокутна таблиця чисел, яка складається з m рядків та n стовпчиків. Числа aij називаються елементами матриці A. Положення кожного елемента матриці визначається номерами рядка і стовпчика, в яких знаходиться цей елемент. Це положення визначається парою індексів, наприклад, aij – елемент, який знаходиться в i–му рядку і j–му стовпчику матриці A. Матриця, число рядків якої співпадає з числом стовпчиків, називається квадратною. Квадратна матриця порядку n x n називається квадратною матрицею порядку n. Поняття перестановки. Нехай дана система різних елементів a1,a2,…,an. Перестановкою цієї системи називається будь-яке упорядкуване розміщення елементів. Іншими словами, перестановкою називається будь-яка упорядкована послідовність, яку утворюють дані елементи. Наприклад, числа 1,2,3,4 утворюють перестановки 1,2,3,4; 3,4,2,1; 2,3,1,4 та ін. Далі будемо розглядати лише перестановки систем натуральних чисел. Будемо казати, що два числа і,j в перестановці утворюють інверсію, якщо і>j і в перестановці число і стоїть раніше від j. Наприклад, в перестановці 4,2,1,3 інверсії утворюють пари чисел. Перестановка називається парною, якщо її елементи утворюють парне число інверсій. Перестановка називається непарною, якщо її елементи утворюють непарне число інверсій. Наприклад, в перестановці 4,2,1,3 інверсії утворюють пари чисел, тобто в перестановці 4 інверсії, а тому перестановка парна. В перестановці 3,1,4,2 інверсії утворюють пари чисел, тобто в перестановці 3 інверсії, і перестановка непарна. В перестановці 1,2,3,4 інверсій немає, тобто число інверсій дорівнює нулю, і перестановка парна. Теорема 1. Число всіх перестановок, які можна скласти з n елементів, дорівнює n! Нехай в перестановці міняються місцями два елементи. Така операція називається транспозицією. Теорема 2. Кожна транспозиція змінює парність перестановки. Наслідок. При n2 число парних перестановок з n елементів співпадає з числом непарних і дорівнює. Поняття визначника n–го порядку. Нехай дана квадратна матриця A порядку n Визначником n –го порядку матриці A називається алгебраїчна сума всіх можливих добутків її елементів, побудованих за правилом: з кожного рядка і кожного стовпчика матриці береться по одному і лише по одному елементу. Якщо після упорядковання співмножників у добутку за першим індексом другі індекси утворюють парну перестановку, перед добутком ставиться знак +, якщо непарну перестановку, то перед добутком ставиться знаК. Визначник матриці A позначається так Числа aіj називаються елементами визначника . Визначник матриці A ще називається детермінантом і позначається det A. Зрозуміло, що визначник складається з n! добутків. Наприклад, Беремо з першого рядка елемент –5, що знаходиться у першому рядку і третьому стовпчику. З другого рядка беремо число 5, яке знаходиться у другому рядку і першому стовпчику. З третього рядка беремо число –3, яке знаходиться у третьому рядку і другому стовпчику. З четвертого рядка беремо число 6, що знаходиться у четвертому рядку і четвертому стовпчику. Добуток (-5)5(-3)6 є одним з добутків визначника , оскільки серед його співмножників є по одному і лише по одному елементу з кожного рядка і кожного стовпчика визначника. З’ясуємо знак при цьому добутку. Далі місце елемента у визначнику будемо позначати парою чисел (і,j) (і-й рядок і j–й стовпчик). Елементи добутку у визначнику знаходяться на місцях. Після упорядкування співмножників добутку за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 3,1,2,4. В цієї перестановці 2 інверсії, перестановка парна, отже, знак при добутку +. Аналітичний запис визначника. Нехай Кожен добуток, з яких складається визначник , можна упорядковати за першим індексом, тобто подати у вигляді … , де 1,2,…,n – деяка перестановка чисел 1,2,...,n. Позначимо через s(1,2,…,n) число інверсій в перестановці 1,2,…,n. Тоді де сума береться по всім перестановкам чисел 1,2,..., n. Лема про знак. Нехай і1,і2,...,іn та j1,j2,...,jn – дві перестановки чисел 1,2,...,n. Тоді добуток …входить до визначника зі знаком . Друге означення визначника. Нехай дана квадратна матриця A порядку n Визначником n–го порядку матриці A називається алгебраїчна сума всіх можливих добутків її елементів, побудованих за правилом: з кожного рядка і з кожного стовпчика матриці береться по одному і лише по одному елементу. Якщо після упорядкування співмножників у добутку за другим індексом перші індекси утворюють парну перестановку, перед добутком ставиться знак +, якщо непарну перестановку, то перед добутком ставиться знак . | |
| Переглядів: 506 | |
| Всього коментарів: 0 | |