| Головна » Статті » Математика | [ Додати статтю ] |
Оцінювання в рівняннях еліптичного типу
|
Припустимо, що спостерігається значення випадкової величини з гільбертового простору , яка має вигляд Тут - випадкова величина з простору з кореляційним оператором і нульвим середнім, L - узагальнений розв'язок лінійного стохастичного рівняння де - випадкова величина з гільбертового простору з кореляційним оператором і нульовим середнім, L , - обмежена область простору з кусково-гладкою границею , і на коефіцієнти накладені ті ж обмеження, що і в §3. Будемо шукати оцінку лінійного функціоналу Зауважимо, що оскільки , де є розв'язком рівняння а літерою позначено середнє значення, то при відшуканні оптимальних оцінок з умови ми можемо, не обмежуючи загальності, вважати, що , і, отже, . Припустимо, що в оператора існує обмежений обернений, не корельована з . Покажемо тоді, що має місце Теорема 1. Оптимальна оцінка функціоналу зображується у вигляді При цьому похибка оцінювання дорівнює Тут , функції знаходяться з систем рівнянь - канонічні ізоморфізми просторів і на спряжені. Доведення. Покажемо спочатку, що має місце Лема. Задача оптимального оцінювання еквівалентна задачі оптимального керування рівнянням з критерієм якості вигляду і при цьому Доведення леми. Зауважимо, що що і треба було довести. Доведення теореми. Користуючись результатами § 3, одержимо, що існує єдиний розв'язок задачі оптимального керування (9), (10), тобто існує єдиний вектор , який має вигляд , де функція визначається із системи рівнянь (8), і при цьому . Покажемо тепер, що справедлива рівність де знаходиться з розв'язку системи рівнянь (7). З цією метою домножимо перше з рівнянь системи (7) на функцію і проінтегруємо по області. Тоді отримаємо, що З другого рівняння системи Використовуючи друге рівняння системи (4.7), одержимо Враховуючи ці співвідношення, будемо мати, що Покажемо далі, що. Використовуючи означення узагальненого розв'язку, а також друге рівняння системи (8), отримаємо, що З цих співвідношень одержимо потрібну рівність, що і завершує доведення теореми. Зауваження 1. Система рівнянь (7) у просторі має єдиний розв'язок. Це випливає з того факту, що якщо ввести функціонал де є узагальненим розв'язком рівняння то система рівнянь (7) є системою рівнянь Ейлера для функціоналу , який має єдину точку мінімуму, рівну . Наслідок 1. Функція , яка визначається із системи рівнянь (7), є оптимальною лінійною середньоквадратичною оцінкою розв'язку задачі (4.2) за спостереженням за вектором вигляду (1), і при цьому похибка оцінювання дорівнює Нехай простір скінченновимірний, тобто , де де - відомі функції, - некорельовані випадкові величини. Покажемо в цьому випадку, що справедлива Твердження 1. Мають місце рівності де функції знаходяться з рівнянь а числа , є розв'язками системи лінійних алгебраїчних рівнянь Доведення. Запишемо в нашому випадку системи рівнянь (7), (8) Позначимо через і величини . З систем рівнянь (13), (14) отримаємо, що Враховуючи далі вигляд і , одержимо означення цих чисел - систему лінійних алгебраїчних виразів. Покажемо далі, що матриця з елементами , невід'ємно визначена: Отже, матриця додатно визначена, а тому система рівнянь для має єдиний розв'язок. л Припустимо далі, що вектор-функція належить обмеженій слабко замкненій множині простору . Розглянемо задачу про вибір вектора , який дає найменшу похибку оцінювання лінійного функціоналу , тобто задачу Покажемо, що має місце Теорема 2. Множина непорожня. Доведення. Нехай - мінімізуюча послідовність, тобто . З послідовності виділимо слабко збіжну підпослідовність, для якої залишимо минулі позначення. Оскільки слабко замкнена, то границя цієї підпослідовності буде належати множині . Покажемо, що , тобто що . Зауважимо, що з теореми 1 випливає, що, де визначається з розв'язку системи рівнянь (13) при . Тому досить показати, що слабко збігається до . Позначимо через вектор з компонентами. Зауважимо далі, що де - розв'язок першого з рівнянь системи (13) при. Звідси одержимо, що а, отже, вектор обмежений. Покажемо тепер, що з послідовності можна виділити слабко збіжну в просторі підпослідовність: Звідси одержимо, що . Нехай тепер збігається слабко до функції у просторі . Із другого рівняння системи (4.13) одержимо, що слабко збігається до функції у просторі , а оскільки простір цілком неперервно вкладається у простір , то сильно збігається в до . Покажемо, що . Оскільки , то . Отже, якщо перейти до границі у співвідношеннях отримаєм, що є розв'язками рівнянь що в силу означення узагальненого розв'язку еквівалентне системі рівнянь (13) при , і тому що і потрібно було показати. Наведем необхідні умови для екстремальної точки . Теорема 3. Нехай - опукла множина. Тоді має місце співвідношенняде визначається з розв'язку системи рівнянь (13) при . Доведення. Оскільки Звідси, переходячи до границі при одержимо, що де - диференціал Гато функціоналу . Знайдемо вигляд цього диференціалу. За означенням, Позначимо через вектор . З рівнянь (13) випливає, що знаходиться з наступної системи рівнянь Перетворимо далі вираз для . Із системи рівнянь (13) отримаєм Змінюючи порядок інтегрування, отримаємо, що звідки Отже, отримали потрібну умову. Наслідок. Нехай майже скрізь, де - опукла обмежена замкнена множина у просторі . Тоді можна показати таким же чином, як і в §3, що умову (15) можна записати у вигляді Зауваження. Нехай . Тоді з принципу мінімума для еліптичних рівнянь випливає, що майже скрізь, а, отже, у тому випадку, коли , вираз для визначення запишеться у вигляді звідки випливає, що є сталою в усій області і, отже, найкращі виміри мають вигляд Так, наприклад, якщо м. с., то з нерівності одержимо, що Обчислимо у даному випадку похибку оцінювання. Із системи рівнянь (13) випливає, що - розв'язок системи рівнянь (13) при . Таким чином, похибка оцінювання дорівнює | |
| Переглядів: 523 | |
| Всього коментарів: 0 | |