| Головна » Статті » Математика | [ Додати статтю ] |
Невласні інтеграли з безмежними границями та з необмеженою підінтегральною функцією
|
Невласні інтеграли з безмежними границями та з необмеженою підінтегральною функцією Згідно з теоремою існування визначеного інтеграла цей інтеграл існує, якщо виконані умови: 1) відрізок інтегрування [а, b] скінчений; 2) підінтегральна функція f(x) неперервна або обмежена і має скінченну кількість точок розриву. Якщо хоч би одна із умов не виконується, то визначений інтеграл називають невласним. Якщо не виконується перша умова, тобто b = ∞ або а = ∞ або а = -∞ та b = ∞, то інтеграли називають невласними інтегралами з нескінченними межами. Якщо не виконується лише друга умова, то підінтегральна функція f(x) має точки розриву другого роду на відрізку інтегрування [а, b]. В цьому випадку називають невласним інтегралом від розривної функції або від функції, необмеженої в точках відрізку інтегрування. 1. Невласні інтеграли з нескінченними межами інтегрування (невласні інтеграли першого роду). Нехай функція f(х) визначена на проміжку [a; +∞) і інтегрована на будь-якому відрізку [а, b], де - ∞ < a < b < +∞. Тоді, якщо існує скінченна границя (51) її називають невласним інтегралом першого роду і позначають так: (52) Таким чином, за означенням (53) У цьому випадку інтеграл (52) називають збіжним, а підінтегральну функцію f(x) - інтегровною на проміжку [а; +∞). Якщо ж границя (51) не існує або нескінченна, то інтеграл (52) називається також невласним, але розбіжним, а функція f(х) - неінтегровною на [a; +∞). Аналогічно інтегралу (53) означається невласний інтеграл на проміжку (-∞; b]: (54) Невласний інтеграл з двома нескінченними межами визначається рівністю (55) де с - довільне дійсне число. Отже, інтеграл зліва у формулі (55) існує або є збіжним лише тоді, коли є збіжними обидва інтеграли справа. Можна довести, що інтеграл, визначений формулою (55), не залежить від вибору числа с. З наведених означень видно, що невласний інтеграл не є границею інтегральних сум, а є границею означеного інтеграла із змінною межею інтегрування. Зауважимо, що коли функція f(x) неперервна і невід'ємна на проміжку [а; +∞) і коли інтеграл (53) збігається, то природно вважати, що він виражає площу необмеженої області (рис. 7.12). рис. 7.12 Приклад. Обчислити невласний інтеграл або встановити його розбіжність: а) б) в) д) а) За формулою (53) маємо Отже інтеграл а) збігається. б) Оскільки ця границя не існує при а → -∞, то інтеграл б) розбіжний. в) Отже інтеграл в) розбіжний, г) Якщо = 1, то Якщо ≠ 1, то Отже інтеграл г) є збіжним при > 1 і розбіжним при ≤ 1. У розглянутих прикладах обчислення невласного інтеграла грунтувалося на його означенні. Проте у деяких випадках немає необхідності обчислювати інтеграл, а достатньо знати, збіжний він чи ні. Наводимо без доведення деякі ознаки збіжності. Теорема 1. Якщо на проміжку [а; +∞) функції f(x) і g(x) неперервні і задовольняють умову 0 ≤ f(x) ≤ g(x), то із збіжності інтеграла (56) випливає збіжність інтеграла (57) а із розбіжності інтеграла (57) випливав розбіжність інтеграла (56). Наведена теорема має простий геометричний зміст (рис. 7.13); якщо площа більшої за розмірами необмеженої області є скінченне число, то площа меншої області є також скінченне число; якщо площа меншої області нескінченно велика величина, то площа більшої області є також нескінченно велика величина. Приклад Дослідити на збіжність інтеграли: а) ; а) Оскільки : і інтеграл збігається, то за теоремою і заданий інтеграл також збігається. б) Цей інтеграл розбігається, бо : і інтеграл розбігається. Теорема 2. Якщо існує границя , , то інтеграли (56) і (57) або одночасно обидва збігаються, або одночасно розбігаються. Ця ознака іноді виявляється зручнішою, ніж теорема 1, бо не потребує перевірки нерівності 0 £ f(x) ≤ g(х). Приклад Дослідити на збіжність інтеграл Оскільки інтеграл збігається і то заданий інтеграл також збігається. В теоремах 1 і 2 розглядались невласні інтеграли від невід'ємних функцій. У випадку, коли підінтегральна функція є знакозмінною, справедлива така теорема. Теорема 3. Якщо інтеграл збігається, то збігається й інтеграл . Приклад Дослідити на збіжність інтеграл . Тут підінтегральна функція знакозмінна. Оскільки то заданий інтеграл збігається. Слід зауважити, що із збіжності інтеграла не випливає, взагалі кажучи, збіжність інтеграла . Ця обставина виправдовує такі означення. Якщо разом з інтегралом збігається й інтеграл , то інтеграл називають абсолютно збіжним, а функцію f(x) - абсолютно інтегровною на проміжку [а; +∞). Якщо інтеграл збігається, а інтеграл розбігається, то інтеграл називають умовно (або неабсолютно) збіжним. Тепер теорему 3 можна перефразувати так: абсолютно збіжний інтеграл збігається .Отже, для знакозмінної функції викладені тут міркування дають змогу встановити лише абсолютну збіжність інтеграла. Якщо ж невласний інтеграл збігається умовно, то застосовують більш глибокі ознаки збіжності [II]. Приклад Дослідити на збіжність інтеграл Оскільки то за теоремою 3 інтеграл збігається. Отже, збігається, причому абсолютно, і заданий інтеграл, а функція f(x) = на проміжку [0; +∞) є абсолютно інтегровною. 2. Невласні інтеграли від необмежених функцій (невласні інтеграли другого роду). Нехай функція f(x) визначена на проміжку [а, b). Точку х = b назвемо особливою точкою функції f(х), якщо f(x) → ∞ при х → b - 0 (рис. 7.14). Нехай функція f(x) інтегровна на відрізку [а; b - ] при довільному > 0 такому, що b - > ; тоді, якщо існує скінченна границя (58) її називають невласним інтегралом другого роду і позначають так: (59) Отже, за означенням У цьому випадку кажуть, що інтеграл (59) існує або збігається. Якщо ж границя (58) нескінченна або не існує, то інтеграл (59) також називають невласним інтегралом, але розбіжним. Аналогічно якщо х = - особлива точка (рис. 7.15), то невласний інтеграл визначається так: Якщо f(x) необмежена в околі якої-небудь внутрішньої точки с0 (а; b), то за умови існування обох невласних інтегралів і за означенням покладають (рис. 7.16). Нарешті, якщо а та b - особливі точки, то за умови існування обох невласних інтегралів і за означенням покладають де с - довільна точка інтервалу (а; b). Приклад Обчислити невласні інтеграли: а) ; б) а) Отже, інтеграл а) збіжний. б) Якщо ¹ 1, то Якщо = 1, то Таким чином, інтеграл б) збігається при 0 < < 1 і розбігається при ³ 1. Бета-функція, або інтеграл Ейлера першого роду, визначається формулою (91) Можна довести, що для всіх (0, +∞) і (0, +∞) інтеграл (91) збігається. Варто зазначити, що відповідний невизначений інтеграл , згідно з теоремою Чебишева (п. 1.7), виражається через елементарні функції лише в окремих випадках. Отже, бета-функція не є елементарною. Гамма-функцією, або інтегралом Ейлера другого роду, називається інтеграл (92) Покажемо, що невласний інтеграл (92) при > 0 збігається. Маємо Перший інтеграл в правій частині цієї рівності збігається, бо Другий інтеграл також збігається. Справді, якщо n - довільне натуральне число таке, що n > - 1, то , в чому можна пересвідчитись, обчислюючи останній інтеграл частинами і враховуючи, що Отже, інтеграл (92) при > 0 збігається і визначає деяку функцію, яку і називають гамма-функцією Г(). Обчислимо значення Г() при а N. Якщо = 1, то (93) Нехай n + 1 інтегруючи частинами, дістанемо звідки Г(n +1) = nГ(n) (94) З рівностей (93) і (94) випливає, що nN: Г(n +1) = n! Таким чином, гамма-функція для цілих значень n N виражається через n!. Проте вона визначена і для нецілих додатних значень аргументу, тобто продовжує факторіальну функцію з дискретних значень аргументу на неперервні. Гамма-функція не є елементарною функцією. Графік цієї функції зображено на рис. 7.35. Властивості гамма-функції досить добре вивчені і значення її протабульовані в багатьох довідниках, наприклад в [19]. Наводимо без доведення формулу Стірлінга для гамма-функції: де > 0 і 0 < () < 1. Якщо в цій рівності покласти = n і помножити її на n, дістанемо (95) Бета- і гамма-функції пов'язані між собою співвідношенням (96) Приклади 1. Знайти Г Згідно з формулою (96), при = = маємо отже, Г=. 2. Обчислити інтеграл Ейлера - Пуассона Враховуючи результат попереднього прикладу, дістанемо 3. Виразити інтеграл через бета-функцію наближено при = 3, = . Маємо Зокрема, при = 3 і = згідно з формулою (96) дістанемо Завдання для самоконтролю Які інтеграли називаються інтегралами, залежними від параметра? Сформулювати теореми про неперервність, диференціювання та інтегрування Інтеграла, залежного від параметра. 3. Дати означення гамма-функції Г(). Довести, що Г(n +1) = n!, n N. Дати означення бета-функції В(,). Як пов'язані між собою бета- та гамма-функції? Довести, що Вказівка. Скористатись підстановкою sin x = . | |
| Переглядів: 588 | |
| Всього коментарів: 0 | |