| Головна » Статті » Математика | [ Додати статтю ] |
Неперервні функції
|
1. Неперервність функції в точці і на відрізку Нехай у = (х) і аргумент х змінюється від значення х = х1, до значення х = х2. Різницю між цими значеннями аргументу називають прирістом аргументу і позначають х . Отже, х = х2- х1. При х = х1 маємо у, = (х1), а при х = х2 маємо у2 = (х2). Різницю функції, яка викликана зміною аргументу, називають прирістом функції і позначають у. Отже, у = у2 – у1= (х, + х) - (x1) . Тепер можна перейти до поняття неперервності функції. Дамо два означення неперервності функції в точці, які досить часто використовуються. Означення 1. Якщо нескінченно малому прирісту аргументу х в точці х = х0 відповідає нескінченно малий приріст у функції, що визначена в точці х0 та в її околі, то функцію у = (х) називають неперервною при х = х0 або в точці х0. Із цього означення випливає, що для дослідження неперервності функції в точці х = х0 достатньо впевнитись, що при х 0 буде у 0. Означення 2. Функцію у = (х) називають неперервною при х = х0, якщо: 1) (х) існує при х = х0 та в деякому околі точки х0; 2) існує скінченна границя ; 3) незалежно від способу прямування х до х0, тобто Останню умову можна записати так: . Ця ознака нижче буде використана для класифікації точок розриву. Означення 3. Якщо функція неперервна в кожній точці деякого інтервалу (а, b), то її називають неперервною в інтервалу (а, b). Якщо функція визначена при х = а i то кажуть, що (х) неперервна в точці а справа. Якщо (а) визначена при x = b i то кажуть, що (х) в точці х = b неперервна зліва. Якщо (х) неперервна в кожній точці інтервалу (а, b) та неперервна на кінцях інтервалу, відповідно зліва та справа, то функцію (х) називають неперервною на відрізку [а,b]. 2. Класифікація розривів функції Якщо при деякому х = x1 будь-яка із умов неперервності означення 2 не виконується, то кажуть, що функція в цій точці має розрив, а точку x1 називають точкою розриву функції (дивись Мал. 1.). Поняття неперервності та розриву функції можна наочно показати на графіку функції. В околі точки х0 графік має вигляд неперервної лінії. При будь-якому прямуванні х х0 (х) (х0). В точках х, та х, інша ситуація. При наближенні х до х1 зліва (х) а, а при х х, справа (х) b, тобто залежить від способу прямування х до х1. В точці х2 умова неперервності функції також не виконується тому, що , тобто не існує скінченної границі. Графік функції, що зображений на Малюнку 1 має розриви в точках х1 та х2 Розриви функції бувають ліквідовні та неліквідовні: 1) якщо функція (х) не визначена в точці х, або визначена, але мають місце співвідношення то розрив в точці х1 називають ліквідовним. В цьому випадку функцію можна визначити або змінити її значення в точці х, так, щоб виконувались рівності 2) неліквідовні розриви поділяються на розриви першого та другого роду. а) якщо однобічні границі функції існують та скінченні, але не рівні між собою, то х1 називають точкою розриву першого роду, а різницю називають стрибком функції; b) якщо хоч би одна з однобічних границь не існує або дорівнює , то розрив в цій точці називають розривом другого роду. На Малюнку 1 функція має розрив першого роду в точці х1, її стрибок дорівнює b - а, а в точці х2 функція має розрив другого роди. 3. Властивості неперервних функцій та дії з ними Приведемо без доведень властивості неперервних функцій. Теорема 1. (Вейєрштрасса) Якщо функція у = (х) неперервна на відрізку [a, b], то вона обмежена на цьому відрізку, тобто існують такі числа M та m, що для усіх х [а, b]. Теорема 2. Усі основні елементарні функції неперервні в кожній точці своєї області існування. Теорема 3. Алгебраїчна сума, добуток (скінченної кількості доданків та множників) та частка функцій, неперервних при x = х0 (в останньому випадку дільник в цій точці не повинен дорівнювати нулю) є також неперервна функція при х = х0. Теорема 4. Неперервна функція від неперервної функції є також неперервна функція. Теорема 5. Будь-яка елементарна функція неперервна в кожній точці своєї області існування. | |
| Переглядів: 717 | |
| Всього коментарів: 0 | |