| Головна » Статті » Математика | [ Додати статтю ] |
Нелінійні диференціальні рівняння вищих порядків - реферат українською
|
1. Загальні визначення. Існування та єдиність розв’язків рівнянь Диференціальне рівняння -го порядку має вигляд Якщо диференціальне рівняння розв’язане відносно старшої похідної, то воно має вигляд Іноді його називають диференціальним рівнянням у нормальній формі. Для диференціального рівняння, розв’язаного відносно похідної, задача Коші ставиться таким чином. Потрібно знайти функцію, - раз неперервно диференційованою, що при підстановці в рівняння обертає його в тотожність і задовольняє початковим умовам. Для диференціального рівняння, не розв’язаного відносно похідної, задача Коші полягає в знаходженні розв’язку, що задовольняє початковим даним де значення довільні, а один з коренів алгебраїчного рівняння . Теорема (існування та єдиності розв’язку задачі Коші рівняння, розв’язаного відносно похідної). Нехай у деякому замкненому околі точки функція задовольняє умовам: 1) вона визначена і неперервна по всім змінним; 2) задовольняє умові Ліпшиця по всім змінним, починаючи з другого. Тоді при, де - досить мала величина, існує і єдиний розв’язок рівняння , що задовольняє початковим умовам Теорема (існування та єдиності розв’язку задачі Коші рівняння, не розв’язаного відносно похідної). Нехай у деяком замкненому околі точки функція задовольняє умовам: 1) вона визначена і неперервна по всім змінним; Тоді при, де - досить мала величина, існує і єдиний розв’язок рівняння , що задовольняє початковим умовам Визначення. Загальним розв’язком диференціального рівняння -го порядку називається -раз неперервно диференційована функція , що обертає при підстановці рівняння в тотожність, у якій вибором сталих можна одержати розв’язок довільної задачі Коші в області існування та єдиності розв’язків. 2. Диференціальні рівняння вищих порядків, що інтегруються в квадратурах Розглянемо деякі типи диференціальних рівнянь, що інтегруються в квадратурах. 1) Рівняння вигляду Проінтегрувавши його -раз одержимо загальний розв’язок у вигляді Якщо задані умови Коші то розв’язок має вигляд 2) Рівняння вигляду Нехай це рівняння вдалося записати в параметричному вигляді Використовуючи основне співвідношення , одержимо Проінтегрувавши його, маємо І одержимо параметричний запис рівняння -порядку Проробивши зазначений процес ще -раз, одержимо загальний розв’язок рівняння в параметричному вигляді 3) Рівняння вигляду . Нехай це рівняння вдалося записати в параметричному вигляді Використовуючи основне співвідношення, одержуємо Проінтегрувавши, маємо І одержали параметричний запис рівняння -порядку Використовуючи попередній пункт, понизивши порядок на одиницю, запишемо Проробивши останню процедуру -раз, запишемо загальний розв’язок у параметричному вигляді 4) Нехай рівняння вигляду можна розв'язати відносно старшої похідної Домножимо його на й одержимо Перепишемо його у вигляді Проінтегрувавши, маємо тобто, Таким чином одержали параметричний запис рівняння -порядку і повернулися до третього випадку. 3. Найпростіші випадки зниження порядку в диференціальних рівняннях вищих порядків Розглянемо деякі типи диференціальних рівнянь вищого порядку, що допускають зниження порядку. 1) Рівняння не містить шуканої функції і її похідних до -порядку включно Зробивши заміну: одержимо рівняння -порядку. 2) Рівняння не містить явно незалежної змінної Будемо вважати, що - нова незалежна змінна, а - функції від. Тоді Після підстановки одержимо диференціальне рівняння -порядку. 3) Нехай функція диференціального рівняння є однорідної щодо аргументів. Робимо заміну, де - нова невідома функція. Одержимо Після підстановки одержимо Оскільки рівняння однорідне відносно, то цей член можна винести і на нього скоротити. Одержимо диференціальне рівняння -порядку. 4) Нехай ліва частина рівняння є похідної деякого диференціального вираза ступеня , тобто У цьому випадку легко обчислюється, так званий, перший інтеграл 5) Нехай диференціальне рівняння розписано у вигляді диференціалів і - функція однорідна по всім перемінним. Зробимо заміну, де - нові змінні. Тоді одержуємо Підставивши, одержимо Скоротивши на одержимо. Тобто одержимо диференціальне рівняння, що не містить явно незалежної змінної, або повертаємося до другого випадку. | |
| Переглядів: 493 | |
| Всього коментарів: 0 | |