| Головна » Статті » Математика | [ Додати статтю ] |
Метод варіації довільної сталої побудови частинного розв’язку лінійного неоднорідного диференціального рівняння - реферат українською
|
Метод варіації довільної сталої полягає в тому, що розв’язок
неоднорідного рівняння шукається в такому ж вигляді, як і розв’язок
однорідного, але сталі вважаються невідомими функціями. Нехай
загальний розв’язок лінійного однорідного рівняння записано у вигляді. Розв’язок лінійного неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді, де - невідомі функції. Оскільки підбором - функцій необхідно задовольнити одному рівнянню, тобто одній умові, то умову можна накласти довільно. Розглянемо першу похідну від записаного розв’язку і зажадаємо, щоб. Розглянемо другу похідну і зажадаємо, щоб. Продовжимо процес взяття похідних до -ї і зажадаємо, щоб. На цьому - умова вичерпалася. І для -ї похідної справедливо . Підставимо взяту функцію та її похідні в неоднорідне диференціальне рівняння Оскільки - розв’язок однорідного диференціального рівняння, то після скорочення одержимо -у умову Додаючи перші - умови, одержимо систему Оскільки визначником системи є визначник Вронського і він відмінний від нуля, то система має єдиний розв’язок І загальний розв’язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння запишеться у вигляді де - довільні сталі, а Якщо розглядати диференціальне рівняння другого порядку і загальний розв’язок однорідного рівняння має вигляд, то частинний розв’язок неоднорідного має вигляд. І для знаходження функцій маємо систему І одержуємо з обчисленими функціями і. | |
| Переглядів: 519 | |
| Всього коментарів: 0 | |