| Головна » Статті » Математика | [ Додати статтю ] |
Матриці. Загальна інформація - реферат українською
|
Матриці. Загальна інформація Основні означення Прямокутна таблиця чисел aij = 1, 2, .... m; j= 1, 2, ..., n, складена з m рядків та n стовпців і записана у вигляді або називається матрицею. Поняття матриці вперше ввели англійські математики У. Гамільтон і Д. Келі. Коротко матрицю позначають так: або де aij - елементи матриці, причому індекс і в елементі aij означає номер рядка, aj- номер стовпця, на перетині яких стоїть даний елемент. Добуток числа рядків m на число стовпців n називають розміром матриці і позначають m X n. Якщо хочуть вказати розмір m X n матриці А, то пишуть Аmn. Матриця, в якої число рядків дорівнює числу стовпців, називається квадратною. Кількість рядків (стовпців) квадратної матриці називається її порядком. Матриця, у якої всього один рядок, називається матрицею-рядком, а матриця, у якої всього один стовпець,- матрицею-стовпцем. Дві матриці Аmn=(aij) та Вmn= (bij) називаються рівними, якщо вони однакових розмірів і мають рівні відповідні елементи: аij = bij. Нульовою називається матриця, у якої всі елементи дорівнюють нулю. Позначається така матриця буквою О. Як і в визначниках (п. 1.1), в квадратних матрицях виділяють головну і побічну діагональ. Квадратна матриця називається діагональною, якщо всі її елементи, крім тих, що знаходяться на головній діагоналі, дорівнюють нулю. Діагональна матриця, у якої кожен елемент головної діагоналі дорівнює одиниці, називається одиничною і позначається буквою Е. Наприклад, одинична матриця третього порядку має вигляд Будь-якій квадратній матриці можна поставити у відповідність певне число, яке називається визначником (детермінантом) цієї матриці і позначається символом det А. За означенням det A= Наприклад, якщо то det Прямокутна матриця розміром т X п (п ф пі) визначника не має. Дії над матрицями 1°. Операція додавання матриць вводиться тільки для матриць однакового розміру. Сумою С = А + В двох матриць Аmn - (aij) і Вmn = (bij) називається матриця Сmn= (cij)=(aij+bij). Наприклад, 2°. Добутком матриці Аmn = (aij) на число k (або числа k на матрицю Amn) називається матриця Вmn= (kaij). Наприклад, 3°. Різниця матриць А - В визначається як сума матриці А і матриці В, помноженої на - 1: Справедливі такі властивості операцій: а) А - В = В + А - комутативність відносно додавання матриць; б) А + (В + С) - (А + В)+С - асоціативність відносно додавання матриць; в) А + О - А; А - А = О - роль нульової матриці в діях над матрицями така, як і числа нуль в діях над числами; г) (βA) = (β) А - асоціативність відносно множення чисел; д) (А + В) = А +В - дистрибутивність множення на число відносно додавання матриць; е) ( + β) А - А + βА - дистрибутивність множення на матрицю відносно додавання чисел. 4°. Операція множення двох матриць вводиться лише для узгоджених матриць. Матриця А називається узгодженою з матрицею В, якщо кількість стовпців першої матриці А дорівнює кількості рядків другої матриці В. Якщо ця умова не виконується, тобто матриці неузгоджені, то множення таких матриць неможливе. З узгодженості матриці А з В не випливає, взагалі кажучи, узгодженість матриці В з А. Квадратні матриці одного порядку взаємно узгоджені. Добутком С = А В матриці Аmn - (аij) на матрицю Bnk=(bij) називається така матриця, у якої елемент сij дорівнює сумі добутків елементів j-го рядка матриці А на відповідні елементи четвертого стовпця матриці В: cij=ai1b1j+ai2b2j+ … + ainbnj; C = Cmk = (cij), i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, k. Це означення називають правилом множення рядка на стовпець. Наприклад, щоб визначити елемент с24, що стоїть в другому рядку і четвертому стовпці матриці С = АВ, потрібно знайти суму»добутків елементів другого рядка матриці А на відповідні елементи четвертого стовпця матриці В. Для дій 1°-4° над матрицями виконуються такі властивості (за умови, що вказані операції мають зміст): а) (АВ) С = А (ВС); б) (А) В = А (В) = (АВ); в) (A + В) С = AС + BС; г) С (A + В) = СA + СB; д) A • О = О • А = О; е) АЕ = ЕА = A; е) det (A5) = det А X det 5. Обернена матриця Нехай А - квадратна матриця. Матриця A-1 називається оберненою до матриці А, якщо виконується умова А А-1 = А-1А = Е. Квадратна матриця А називається виродженою, якщо det А=0, і невиродженою, якщо det А ≠0. Теорема 3. Для існування оберненої матриці А-1 необхідно і достатньо, щоб матриця А була невиродженою. О Необхідність. Нехай обернена матриця A-1 існує, тоді AA-1= Е. Застосовуючи правило знаходження визначника добутку двох матриць, маємо det A • det A-1 = 1, тому det А ≠ 0. Достатність. Нехай det А ≠0, тоді матриця A має обернену матрицю А-1 причому , () де Аij - алгебраїчні доповнення елементів аij визначника матриці () | |
| Переглядів: 487 | |
| Всього коментарів: 0 | |