| Головна » Статті » Математика | [ Додати статтю ] |
Математичні основи - реферат українською
|
Означення. Нехай a та b – цілі числа. Кажуть, що a дорівнює b за модулем
n, позначається через a b (mod n), якщо a - b ділиться на n. Приклад. 23 3 (mod 5), тому що 23 - 3 = 5 * 4; -25 3 (mod 7), тому що -25 - 3 = 7 * -4; Властивості. Нехай a, a1, b, b1, c – цілі числа. 1. a b (mod n) тоді і тільки тоді коли a та b дають рівні залишки при діленні на n. 2. Рефлексивність. a a (mod n). 3. Симетрія. Якщо a b (mod n), то b a (mod n). 4. Транзитивність. Якщо a b (mod n) і b c (mod n), то a c (mod n). 5. Якщо a a1 (mod n) та b b1 (mod n), то a + b a1 + b1 (mod n) і a * b a1 * b1 (mod n). Означення. Нехай n – ціле додатне число. Позначимо через Ct клас, у який об’єднано усі цілі числа, які при діленні на n дають одну і ту ж остачу t. Усі цілі числа розіб’ються на n класів C0, C1, ..., Cn-1, які називаються класами лишків за модулем n. Приклад. Нехай n = 7. Тоді до класу C2 належать числа виду 7 * x + 2, де x Z. Твердження. Два числа є порівнюваними за модулем n, якщо вони належать одному класу лишків за модулем n. Означення. Якщо з кожної системи лишків за модулем n взяти по одному представнику, то отриману систему чисел називають повною системою лишків за модулем n. Якщо повну систему лишків будувати з найменших невід’ємних лишків, то вона прийме вигляд: 0, 1, 2, ..., n - 1. Її будемо позначати через Zn. Арифметичні операції над елементами цієї множини відбуваються за модулем n. Повна система лишків утворює групу з операцією додавання. Приклад. Повною системою лишків за модулем 5 буде множина чисел Z5 = {0, 1, 2, 3, 4}. Приклад. Z12 = {0, 1, 2, ..., 11}. У класі Z12: 11 + 6 = 5, тому що 11 + 6 = 17 5 (mod 12). 10 * 3 = 6, тому що 10 * 3 = 30 6 (mod 12). Перша теорема про лишки лінійної форми. Якщо у лінійній формі ax + b число x пробігає усі значення з повної системи лишків за модулем n при НСД(a, n) = 1 та довільному b, тоді ax + b пробігає усі значення повної системи лишків за модулем n. Доведення. Отримана система складається з n чисел, оскільки замість x у формі ax + b підставляються n різних значень. Доведемо від супротивного, що усі ці n отриманих чисел різні. Нехай x1 та x2 не порівнювані за модулем n, але ax1 + b ax2 + b (mod n). Тоді ax1 ax2 (mod n). Але оскільки НСД(a, n) = 1, то x1 x2 (mod n). Отримали суперечність. Приклад. Нехай n = 6, a = 5, b = 1, при цьому НСД(a, n) = 1. Підставимо до форми 5 * x + 1 значення x із повної системи лишків Z6 = {0, 1, 2, ..., 5}. x 5 * x + 1 (mod 6) 0 1 1 0 2 5 3 4 4 3 5 2 В правому стовпчику таблиці всі числа різні. Означення. Якщо з кожної системи лишків Ct (t = 0, 1, ..., n - 1) за модулем n, для якої НСД (t, n) = 1 взяти по одному представнику, то отриману систему чисел називають зведеною системою лишків за модулем n і позначають через Zn*. Зведена система лишків утворює групу з операцією множення. Якщо p – просте, то Zp* = {1, 2, ..., p - 1}. Означення. Порядком множини A будемо називати кількість її елементів і позначати через |A|. Приклад. Зведеною системою лишків для n = 10 буде множина чисел Z10* = {1, 3, 7, 9}, |Z10*| = 4. Означення. Функція Ейлера. Позначимо через (n) кількість чисел із інтервалу [1..n], взаємно простих з n. Властивості функції Ейлера 1. Якщо p – просте число, то (p) = p - 1 та (pa) = pa * (1 - 1/p) для довільного a. 2. Якщо m та n взаємно прості, то (m * n) = (m) * (n). 3. Якщо n = , то (n) = n * (1 - 1/p1) * (1 - 1/p2) * ... * (1 - 1/pk). 4. (n) = |Zn*|. 5. = n. Приклад. Обчислити (728), (10). 728 = 7 * 8 * 13 = 23 * 7 * 13, 10 = 2 * 5. (728) = 728 * (1 - 1/2) * (1 - 1/7) * (1 - 1/13) = 728 * (1/2) * (6/7) * (12/13) = 288. (10) = 10 * (1 - 1/2) * (1 - 1/5) = 10 * (1/2) * (4/5) = 4. Твердження. Порядком групи Zn* будемо називати кількість елементів в ній та позначати |Zn*|. При цьому |Zn*| = (n) Приклад. Z10* = {1, 3, 7, 9}, |Z10*| = (10) = 4. Друга теорема про лишки лінійної форми. Якщо у лінійній формі a * x число x пробігає усі значення зі зведеної системи лишків за модулем n при НСД(a, n) = 1, тоді a * x пробігає усі значення зведеної системи лишків за модулем n. Доведення. Підставивши замість змінної x у лінійну форму a * x (n) чисел, отримаємо (n) різних чисел, оскільки вони належать за модулем m різним класам (це випливає з першої теореми про лишки лінійної форми для b = 0). Оскільки x – лишок зведеної системи, то НСД(x, n) = 1. За умовою теореми НСД(a, n) = 1. З останніх двох рівностей випливає, що НСД(a * x, n) = 1, тобто числа a * x взаємно прості з n. Приклад. Розглянемо множину чисел {1, 3, 7, 9}, яка є зведеною системою лишків для n = 10. Нехай a = 7, НСД (7, 10) = 1. Тоді мають місце співвідношення: 7 * 1 (mod 10) 7 (mod 10) 7 7 * 3 (mod 10) 21 (mod 10) 1 7 * 7 (mod 10) 49 (mod 10) 9 7 * 9 (mod 10) 63 (mod 10) 3 | |
| Переглядів: 522 | |
| Всього коментарів: 0 | |