| Головна » Статті » Математика | [ Додати статтю ] |
Математичні основи
|
Означення. Нехай a та b – цілі числа. Кажуть, що a дорівнює b за модулем n, позначається через a b (mod n), якщо a - b ділиться на n. Приклад. 23 3 (mod 5), тому що 23 - 3 = 5 * 4; -25 3 (mod 7), тому що -25 - 3 = 7 * -4; Властивості. Нехай a, a1, b, b1, c – цілі числа. 1. a b (mod n) тоді і тільки тоді коли a та b дають рівні залишки при діленні на n. 2. Рефлексивність. a a (mod n). 3. Симетрія. Якщо a b (mod n), то b a (mod n). 4. Транзитивність. Якщо a b (mod n) і b c (mod n), то a c (mod n). 5. Якщо a a1 (mod n) та b b1 (mod n), то a + b a1 + b1 (mod n) і a * b a1 * b1 (mod n). Означення. Нехай n – ціле додатне число. Позначимо через Ct клас, у який об’єднано усі цілі числа, які при діленні на n дають одну і ту ж остачу t. Усі цілі числа розіб’ються на n класів C0, C1, ..., Cn-1, які називаються класами лишків за модулем n. Приклад. Нехай n = 7. Тоді до класу C2 належать числа виду 7 * x + 2, де x Z. Твердження. Два числа є порівнюваними за модулем n, якщо вони належать одному класу лишків за модулем n. Означення. Якщо з кожної системи лишків за модулем n взяти по одному представнику, то отриману систему чисел називають повною системою лишків за модулем n. Якщо повну систему лишків будувати з найменших невід’ємних лишків, то вона прийме вигляд: 0, 1, 2, ..., n - 1. Її будемо позначати через Zn. Арифметичні операції над елементами цієї множини відбуваються за модулем n. Повна система лишків утворює групу з операцією додавання. Приклад. Повною системою лишків за модулем 5 буде множина чисел Z5 = {0, 1, 2, 3, 4}. Приклад. Z12 = {0, 1, 2, ..., 11}. У класі Z12: 11 + 6 = 5, тому що 11 + 6 = 17 5 (mod 12). 10 * 3 = 6, тому що 10 * 3 = 30 6 (mod 12). Перша теорема про лишки лінійної форми. Якщо у лінійній формі ax + b число x пробігає усі значення з повної системи лишків за модулем n при НСД(a, n) = 1 та довільному b, тоді ax + b пробігає усі значення повної системи лишків за модулем n. Доведення. Отримана система складається з n чисел, оскільки замість x у формі ax + b підставляються n різних значень. Доведемо від супротивного, що усі ці n отриманих чисел різні. Нехай x1 та x2 не порівнювані за модулем n, але ax1 + b ax2 + b (mod n). Тоді ax1 ax2 (mod n). Але оскільки НСД(a, n) = 1, то x1 x2 (mod n). Отримали суперечність. Приклад. Нехай n = 6, a = 5, b = 1, при цьому НСД(a, n) = 1. Підставимо до форми 5 * x + 1 значення x із повної системи лишків Z6 = {0, 1, 2, ..., 5}. x 5 * x + 1 (mod 6) 0 1 1 0 2 5 3 4 4 3 5 2 В правому стовпчику таблиці всі числа різні. Означення. Якщо з кожної системи лишків Ct (t = 0, 1, ..., n - 1) за модулем n, для якої НСД (t, n) = 1 взяти по одному представнику, то отриману систему чисел називають зведеною системою лишків за модулем n і позначають через Zn*. Зведена система лишків утворює групу з операцією множення. Якщо p – просте, то Zp* = {1, 2, ..., p - 1}. Означення. Порядком множини A будемо називати кількість її елементів і позначати через |A|. Приклад. Зведеною системою лишків для n = 10 буде множина чисел Z10* = {1, 3, 7, 9}, |Z10*| = 4. Означення. Функція Ейлера. Позначимо через (n) кількість чисел із інтервалу [1..n], взаємно простих з n. Властивості функції Ейлера 1. Якщо p – просте число, то (p) = p - 1 та (pa) = pa * (1 - 1/p) для довільного a. 2. Якщо m та n взаємно прості, то (m * n) = (m) * (n). 3. Якщо n = , то (n) = n * (1 - 1/p1) * (1 - 1/p2) * ... * (1 - 1/pk). 4. (n) = |Zn*|. 5. = n. Приклад. Обчислити (728), (10). 728 = 7 * 8 * 13 = 23 * 7 * 13, 10 = 2 * 5. (728) = 728 * (1 - 1/2) * (1 - 1/7) * (1 - 1/13) = 728 * (1/2) * (6/7) * (12/13) = 288. (10) = 10 * (1 - 1/2) * (1 - 1/5) = 10 * (1/2) * (4/5) = 4. Твердження. Порядком групи Zn* будемо називати кількість елементів в ній та позначати |Zn*|. При цьому |Zn*| = (n) Приклад. Z10* = {1, 3, 7, 9}, |Z10*| = (10) = 4. Друга теорема про лишки лінійної форми. Якщо у лінійній формі a * x число x пробігає усі значення зі зведеної системи лишків за модулем n при НСД(a, n) = 1, тоді a * x пробігає усі значення зведеної системи лишків за модулем n. Доведення. Підставивши замість змінної x у лінійну форму a * x (n) чисел, отримаємо (n) різних чисел, оскільки вони належать за модулем m різним класам (це випливає з першої теореми про лишки лінійної форми для b = 0). Оскільки x – лишок зведеної системи, то НСД(x, n) = 1. За умовою теореми НСД(a, n) = 1. З останніх двох рівностей випливає, що НСД(a * x, n) = 1, тобто числа a * x взаємно прості з n. Приклад. Розглянемо множину чисел {1, 3, 7, 9}, яка є зведеною системою лишків для n = 10. Нехай a = 7, НСД (7, 10) = 1. Тоді мають місце співвідношення: 7 * 1 (mod 10) 7 (mod 10) 7 7 * 3 (mod 10) 21 (mod 10) 1 7 * 7 (mod 10) 49 (mod 10) 9 7 * 9 (mod 10) 63 (mod 10) 3Означення. Оберненням числа a за модулем n (позначається a-1) називається таке число x Zn, що ax 1 (mod n). Приклад. Обчислити 5-1 (mod 7). Знайдемо всі значення 5 * x (mod 7), x = 0, ..., 6. 5 * 0 (mod 7) 0 mod 7 0 5 * 1 (mod 7) 5 mod 7 5 5 * 2 (mod 7) 10 mod 7 3 5 * 3 (mod 7) 15 mod 7 1 5 * 4 (mod 7) 20 mod 7 6 5 * 5 (mod 7) 25 mod 7 4 5 * 6 (mod 7) 30 mod 7 2 Оскільки 5 * 3 (mod 7) 1, то 5-1 (mod 7) 3. Твердження. Обернене число a-1 за модулем n існує тоді і тільки тоді, коли НСД(a, n) = 1. Якщо НСД(a, n) = k > 1, то для довільного елемента x Zn вираз ax (mod n) буде ділитися на k і ніколи не буде дорівнювати 1 (тому що 1 не ділиться на k при k > 1). Алгоритм обчислення оберненого числа. Якщо необхідно обчислити a-1 (mod n), то знайдемо за розширеним алгоритмом Евкліда НСД(a, n) = d та такі значення x та y, що ax + ny = d. Якщо d > 1, то оберненого значення не існує. Інакше a-1 (mod n) = x, тому що ax (mod n) ax + ny (mod n) d = 1. Приклад. Обчислити 2-1 (mod 7). НСД(2, 7) = 1, отже обернене значення існує. За розширеним алгоритмом Евкліда матимемо: 2 * (-3) + 7 * 1 = 1, звідки 2-1 (mod 7) –3 (mod 7) 4. Перевірка: 2 * 4 (mod 7) 8 (mod 7) 1. Означення. Діленням числа a на число b за модулем n називається множення a на b-1 за умови існування b-1. Приклад. Результатом 4 : 5 (mod 7) буде 4 * 5-1 (mod 7) 4 * 3 (mod 7) 12 (mod 7) 5. Перевірка: 5 * 5 (mod 7) 25 (mod 7) 4. Теорема Ейлера. Якщо a та n взаємно прості, то a(n) 1 (mod n). Доведення. Скористаємося другою теоремою про лишки лінійної форми. Нехай r1, ..., rk, k = (n) – лишки зведеної системи за модулем n, взяті у формі найменших додатних лишків. Тоді найменшими додатними лишками чисел a * ri будуть r1’ , ..., rk’, які у сукупності утворюють також зведену систему. Отже ar1 r1’ (mod n) ar2 r2’ (mod n) ......................... ark rk’ (mod n) Звідки ak * r1 * ... * rk r1’ * ... * rk’ (mod n). Але оскільки добутки r1 * ... * rk та r1’ * ... * rk’ рівні і взаємно прості з модулем, то розділивши рівність на цей добуток, отримаємо: ak 1 (mod n). За припущенням k = (n), отже a(n) 1 (mod n). Приклад. Нехай a = 7, n = 9. Тоді 7 (9) (mod 9) 79 * (1 - 1/3) (mod 9) 76 (mod 9) 493 (mod 9) 43 (mod 9) 64 (mod 9) 1. Теорема Ферма. (Частковий випадок теореми Ейлера). Якщо p просте, a Zp*, то ap-1 1 (mod p). Наслідок. Якщо помножити рівність ap-1 1 (mod p) на a, то отримаємо ap a (mod p) Приклад. Нехай p = 11 – просте число. Виберемо а = 3. Тоді повинна виконуватись рівність: 310 (mod 11) 1 Дійсно, 310 (mod 11) 95 (mod 11) (-2)5 (mod 11) -32 (mod 11) 1. Теорема. Китайська теорема про залишки. Нехай n1, n2, …, nk – взаємно прості числа. Тоді система порівнянь x a1 (mod n1) x a2 (mod n2) . . . . . .. . .. . . . x ak (mod nk) має єдиний розв'язок за модулем n = n1 * n2 * … * nk. Алгоритм Гауса розв'язку системи лінійних порівнянь з китайської теореми про залишки. Значення x обчислюється наступним чином: x = mod n, де Ni = n / ni, Mi = mod ni. Приклад. Розв’язати систему порівнянь: n = 11 * 13 = 143. Обчислимо Ni та їх обернені хначення Mi: N1 = 143 / 11 = 13, N2 = 143 / 13 = 11 M1 = 13-1 (mod 11) = 6, M2 = 11-1 (mod 13) = 6 Таким чином x = 5 * 13 * 6 + 8 * 11 * 6 ( mod 143) 390 + 528 (mod 143) 60 Відповідь: x = 60 (mod 143). Приклад. Обчислити значення виразу 46 * 67 mod 561, якщо відомо розклад модуля на прості множники: 561 = 3 * 11 * 17. Обчислимо лишки множників за модулями 3, 11 та 17. {46 mod 3, 46 mod 11, 46 mod 17} = {1, 2, 12}, {67 mod 3, 67 mod 11, 67 mod 17} = {1, 1, 16}. 46 * 67 = {1, 2, 12} * {1, 1, 16} = {1 * 1 mod 3, 2 * 1 mod 11, 12 * 16 mod 17} = {1, 2, 5} Тепер для обчислення значення 46 * 67 mod 561 слід розв’язати систему лінійних порівнянь | |
| Переглядів: 624 | |
| Всього коментарів: 0 | |