| Головна » Статті » Математика | [ Додати статтю ] |
Інтегрування правильних дробів, раціональних дробів, ірраціональостей - реферат українською
|
Означення 3. Дріб називається раціональним, якщо його чисельник та знаменник є многочленами. Тобто дріб має вигляд: де a1 та bk – коефіцієнти многочленів, i = 1,2…,n; k = 1,2…,m. Раціональний дріб називається правильним, якщо найвищий показник степеня чисельника n менше відповідного степеня m знаменника. Дріб називається неправильним, якщо . Якщо дріб неправильний, тоді треба поділити чисельник на знаменник (за правилом ділення многочленів) і одержати заданий дріб у вигляді суми многочлена та правильного раціонального дробу, тобто Означення 4. Найпростішими раціональними дробами І, II, III та IV типу називаються правильні дроби вигляду: Умова означає, що квадратний тричлен х2 + рх + q немає дійсних коренів і на множники не розкладається. Те саме можна сказати і про квадратний тричлен х2 + rx + s. Розглянемо інтегрування найпростіших раціональних дробів. Інтеграли від найпростіших раціональних дробів 1-го та II-го типів знаходять методом безпосереднього інтегрування: При інтегруванні найпростішого дробу III типу треба спочатку в знаменнику виділити повний квадрат, а потім той вираз, що під квадратом, замінити через нову змінну. ІІІ. Повертаючись до змінної х та враховуючи, що або одержимо: Інтеграл від найпростішого дробу IV типу шляхом повторного інтегрування частинами зводять до інтеграла від найпростішого дробу III типу. Теорема 2. Будь-який правильний раціональний дріб розкладається на суму найпростіших раціональних дробів, коефіцієнти яких можна знайти методом невизначених коефіцієнтів. Отже, інтегрування раціонального дробу зводиться до інтегрування многочлена Мm-n(х) (при ) та суми найпростіших раціональних дробів. Зазначимо, що вигляд найпростіших дробів, визначається коренями знаменника Qm(x). Можливі слідуючі випадки: 1. Корені знаменника дійсні та різні, тобто Qm(x) = (x-a1)(x-a2)...(x-am) В цьому випадку дріб розкладається на суму найпростіших дробів 1-го типу: Невизначені коефіцієнти А1,А2,...Аm знаходяться з тотожності. 2. Корені знаменника дійсні, причому деякі з них кратні, тобто: Тоді дріб розкладається на суму найпростіших дробів І-го, та II-го типу. Коефіцієнти A1, B1, B2,… Bk знаходяться з тотожності. 3. Корені знаменника дійсні, причому деякі з них кратні, крім того знаменник містить квадратний тричлен, який не розкладається на множники, тобто Qm (х) = (х- 1)(x- )k • (х2 + px + q) В цьому випадку дріб розкладається на суму найпростіших дробів І -го II - го та III - го типу Коефіцієнти A1, B1, B2,…, Bk, D та E знаходяться з тотожності. Приклад 7. Знайти. Розв'язування. Підінтегральна функція - це правильний раціональний дріб, знаменник якого містить квадратний двочлен, який не розкладається на множники та один дійсний корінь х = 1, тому цей дріб розкладається на суму найпростіших дробів І та III типу. Невідомі коефіцієнти А, В та С будемо шукати методом невизначених коефіцієнтів. Для цього праву частину рівності треба привести до спільного знаменника, одержимо: Знаменники в обох частинах рівні, і тому і чисельники повинні бути рівні, тобто х = (Ах + В)(х-1)+С (х2+1) x = (A+С)x2 +(B-A)x+С-В Рівність можлива лише тоді, коли коефіцієнти при однаковому степеню X в обох частинах рівності однакові, тобто Отже, розклад тепер приймає вигляд: Інтегруючи цю рівність, одержимо Інтегрування виразів, що містять ірраціональність. При інтегровані виразів, що містять дробові степені змінної інтегрування, методом підстановки зводять підінтегральну функцію до раціонального дробу. Розглянемо декілька випадків. 1. Підінтегральна функція є раціональним дробом відносимо , де - дробове число. В цьому випадку вводять нову змінну , де q — спільний знаменник дробових показників степеня змінної x . Приклад 8. Знайти Розв'язування. Маємо Спільний знаменник дробових показників степенів змінної x дорівнює 12. Тому зробимо підстановку i ми одержуємо 2. Підінтегральний вираз містить дробові степені лінійного двочлена (ах+b). У цьому випадку доцільно зробити підстановку , де q - спільний знаменник дробових показників степенів двочлена. Приклад 9. Знайти Розв'язування. Нехай Тому Поняття інтегралів, що не виражаються елементарними функціями. Математиками доведено, що будь - яка неперервна функція має первісну і, отже, невизначений інтеграл. Існують прості елементарні функції, первісні яких не можна виразити скінченою комбінацією елементарних функцій. Доведено, наприклад, що жоден із інтегралів: не виражається елементарними формулами. Вони зустрічаються у практичній діяльності. Наприклад, доведемо, що суму членів степеневого ряду правої частини приймають за нову функцію, яку позначають і називають синус інтегральний змінної х. | |
| Переглядів: 660 | |
| Всього коментарів: 0 | |