| Головна » Статті » Математика | [ Додати статтю ] |
Інтегровані типи д-р 1-го порядку, розвязаних відносно похідної - реферат українською
|
Інтегровані типи д-р 1-го порядку, розвязаних відносно похідної а). Неповні р-ня. ДР, яке не містить шуканої функції. Має вигляд , (2.33) Припустимо, що f(x) являється неперервною на функцією. Тоді ф-я (2.34) являэться загальним розв`язком д-р (1) в області a < x < b, -< y < + .(2.35) Особливих розвязків ДР (2.33) немає. Разом з ДР (2.33) розглянемо початкові умови (2.36) Проінтегруємо ДР (2.34) від до x Знаходимо с з умови (2.36) (2.37) - загальний розвязок ДР (2.33) в формі Коші. Якщо f(x) - неперервна на за виключенням точки , в якій приймає нескінченне значення, то замість ДР (2.34) будемо розглядати р-ня (2.331) Пряма являється розвязком ДР (2.331) і ми цей розвязок повинні приєднати до розвязку ДР (2.33). Цей розвязок може бути частинним або особливим в залежності від того зберігається чи порушується в будь-якій його точці єдність. Якщо - частинний розвязок, то його часто можна отримати з загального при нескінченних заначеннях с, якщо ж він являється особливим, то його отримують з загального при . Р-ня, яке не містить незалежної змінної має вигляд (2.38) Припускаємо, що ф-я визначена і неперевна на інтервалі . Замість (2.38) розглянемо ДР (2.39) ДР (2.39) не містить шуканої функції і воно розвязується аналогічно ДР (2.33). Якщо , y є (c,d), то (2.40) - загальний рохвязок ДР (2.39) в області c < y < d, -< x < + . Аналогічно (2.41) - загальний інтеграл в формі Коші. Якщо неперервна на (c,d) і приймає нульове значення при , то ми повинні розглядаті ДР (2.38). Розвязок буде частинним, якщо в кожній його точці зберігається єдиність, і осоюливим, якщо в кожній його точці порушується єдиність. Якщо частинний розвязок, то ми його отримуємо при нескінченних значеннях , якщо особливий, то при . Якщо в тоцчі перетворюється в нескінченність , то розглянемо ДР (2.39), яке має неперервну праву частину на (c,d). При цьому ДР на має єдиний розвязок . Пр. 2.5 Розглянемо ДР . Область визначення : . Поскільки в т. дотичні паралельні осі OY, то розвязок в єдиний , . б) Рівняння з відокремлюванними змінними. Розглянемо р-ня в диференціалах виду (2.42), де - неперервні ф-ї своїх аргументів. Деференціальне р-ня (2.42) називається р-ням з відокремленими змінними. Його можна переписати данним чином . Звідки маємо загальний розвязок в квадратурах. (2.43). Якщо треба записати розвязок задачі Коші, то записують так . З умови (2.36) визначають . Отже (2.44) - розвязок задачі Коші (2.36), (2.42). При данних припущеннях особливих розвязків ДР (4.42) не має. Рівняння вигляду (2.45) - називають р-ням з відокремлюваними змінними. Припустимо, що , тоді розділемо обидві частини рівняння (2.45) на , отримуємо (2.46). Аналогічно записуємо (2.47) - загальний розвязок ДР (2.45) і (2.48) - розвязок задачі Коші (2.36) , (2.45). При діленні на ми можемо загубити розвязки, які визначаються рівняннями ,. Дійсно, нехай , то отже - розвязок ДР (2.45). Аналогічно . Якщо ці розвязки не входять в (2,47) при деяких , то вони представляють собою особливі розвязки ДР (2.45). З розвязку ми повинні викинути точку , так як в точці ДР (2.45) не визначає нахил поля . По тій же причині з розвязку викидають точку . Таким чином розвязки і примикають до точки і можуть бути особливими. Других особливих розвязків не має. Пр. 2.6. Знайти загальний розвязок ДР: . Розвязок: . . . . . . в). Однорідні і узагальнено-однорідні ДР. Розглянемо р-ня в диференціалах (2.5), в якому ф-ії і являються однорідними функціями одніеї і тієї ж степені однорідності. Означення 2.4: ф-я називаеться однорідною степеню , якщо (2.49). Якщо (2.49) виконуються при , то ф-я називаеться додатню-однорідною. Однорідне р-ня завжди можна звести до рівняння вигляду (2.50), в якому функція однорідна функція нулбового виміру. Однорідні рівняння завжди інтегруються в квадратурах заміною (2.51). При цьому р-ня (2.5) приводиться до рівняння з відокремлюваними змінними. Дійсно , , , , , , (2.52), де . При діленні ми могли загубити розвязок , де - корені рівняння (2.53). Отже півпрямі примикають до початку координат. Ці розвязки можуть міститися в формулі загального розвязку, але можуть бути і особливими. Особливими можуть бути також півосі осі . Других особливих розвязків ДР (2.5) не має. Рівняння вигляду(2.54) зводиться до однорідного. Якщо , то це однорідне рівняння. Припустимо, що хоч одне з чисел не дорівнюють 0. Можливі два випадки: Перший) Проводимо заміну (2.55), де - нові змінні, - параметри. Тоді (2.56). Параметри вибираємо згідно системи (2.57). Так як то система (2.57) має єдиний розвязок. Таким чином, ми прийшли до однорідного ДР (2.58). Другий) . В цьому випадку , тобто . Тому (2.59) Заміною ДР (2.59) приводимо до рівняння з відокремленими змінними (2.60). Пр 2.7 Знайти загальний розвязок ДР Це однорідне рівняння, . Зробимо заміну , | |
| Переглядів: 476 | |
| Всього коментарів: 0 | |