| Головна » Статті » Математика | [ Додати статтю ] |
Елементи теорії графів
|
1. Основні поняття 1.1. Вершини і ребра Історично перша робота – Ейлер, розв. задачі про Кенігсбергські мости. Графи там, де є елементи (вершини) та зв'язки між ними (ребра). Приклади – географічні схеми, комбінаційні схеми з функціональних елементів, залежність між дисциплінами навчальних планів, бінарні відношення тощо. Множина вершин V і множина ребер E. Пари вершин (упорядковані) і неупорядковані пари – VV і [VV]. Функція f з E у VV або [VV]. Якщо F різнозначна, то маємо граф, якщо нерізнозначна – мультиграф. Петлі – (v, v) чи [v, v]. Інцидентність вершин і ребер (incidence – сфера дії), суміжність (сусідство) вершин. Степінь вершини. Сума степенів вершин і кількість ребер. Частини графа, підграфи та суграфи. Доповнення графа. Ізоморфізм графів. Автоморфізми. Дводольний, повний, регулярний, фактор. Паросполучення. Досконале, максимальне. Задачі ****Про суму степенів вершин і кількість ребер. ГС1: 1, 3, 4, 25(1, 2) ****Про ізоморфізм – на картинках, матрицях суміжності та ін. ГС1: 2, 14(1), 15(1), 16, 18', 28, ****Про паросполучення. ГС1: 44 1.2. Подання графів і мультиграфів Подання графів (не мультиграфів) – матриця суміжності, список ребер (пар вершин), структура суміжності – список вершин із списками їх сусідів ("ущільнена" матриця). Подання мультиграфів – матриця інцидентності. Задачі ****Малюнки матриці, списки, структури тощо. РНД8.8: 24 Липский Довести, що при будь-якому неорієнтованому графі матриця суміжності B виражається через матрицю інцидентності A таким чином: B = AAT – diag[d1, d2, …, dn], де AT– це транспонована матриця A, di – степінь i-ї вершини, diag[d1, d2, …, dn] – діагональна матриця з елементами d1, d2, …, dn на головній діагоналі. Трох**** 1.3. Графи та відношення Граф як форма подання відношення на множині V. Об'єднання, перетин та композиція (добуток) графів. Відбиття властивостей відношень на графах. Декартовий добуток графів. Транзитивне, транзитивно-рефлексивне та транзитивно-рефлексивно-симетричне замикання відношення суміжності. Зв'язок із матрицею суміжності та її степенями. Задачі **** 2. Шляхи в графах Шлях, ланцюг, цикл, прості шляхи. Зв'язність. Компонент зв'язності. Відстані між вершинами. Діаметри, радіуси, центри. Задачі ****ГС1: 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 14(2), 15(2), 25(4, 5), 26, 27, 39(1, 2) РНД8.8: 4, ГС4: 6(1абв), 8(1, 3), Відмітки-відстані на ребрах. Найкоротші шляхи. Алгоритм Дейкстри. **** Ейлерові ланцюги та графи. Теорема Ейлера. Гамільтонові цикли та ланцюги. Задача комівояжера. Задачі ****(Ейл.ц.)РНД8.8: 52, на малюнках. ****(Гам.ц.)ГС1: 32, 33, 35, 36, 37, 38, 42, 43 3. Дерева Дерево, ліс. Код дерева. Охоплююче дерево (каркас, кістяк) мінімальної ваги. Алгоритми Прима та Краскала. ГС4: 1', 2, 3, 4, 5', 6(2), 7, 8(2), 9, 10, 11, 12, 13(…), 14, 15, 16, 17, 25(1)****про коди: 18(…), 19(…), 20(1, 2), 21(…), 22, 23, 25(2) РНД8.8: 10, 28, ****про ОДМВ: ГС4: 27; РНД8.8: 9(аб), 4. Планарні графи Плоске зображення та планарний граф. Формула Ейлера. Гомеоморфізм. Критерій Понтрягіна-Куратовського. Триангуляція. Задачі ****про гомеоморфізм. ГС1: 29(1,2), 30, 31(1, 2) ****про планарність. ГС2: 1, 2, 3, 4, 5*, 6, 9, 10, 11, 12, 14, 36, РНД8.8: 46а, 47, 48, 5. Розфарбування вершин графа Розфарбування географічних карт – проблема 4-х фарб. Правильне розфарбування. Хроматичне число. Теореми про 5 і 4 фарби для планарних графів. Задачі ****ГС2: 25(…), 26(…), 27(1, 2, 3), 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 38(1, 2), 39, 40 6. Орієнтовані графи Шляхи, ланцюги, цикли (контури), відношення досяжності. Сильна зв'язність. Гамільтонові ланцюги та контури. Орієнтовані кореневі дерева. Топологічне сортування. | |
| Переглядів: 509 | |
| Всього коментарів: 0 | |