| Головна » Статті » Математика | [ Додати статтю ] |
Диференціальні рівняння. Задача Коші - реферат українською
|
ПЛАН 1. Поняття про диференціальні рівняння. Рівняння з розділеними змінними. 2. Лінійні диференціальні рівняння. 3. Задача Коші. Застосування диференціальних рівнянь в економіці. 1. Поняття про диференціальні рівняння. Рівняння з розділеними змінними Ряд задач економіки та упраління, що розгортаються в часі, описуються диференціальними рівняннями. Означення. Звичайним диференціальним рівнянням називається рівняння, у яке входять незалежна змінна, функція від цієї змінної та похідні різних порядків: F(x,y,y,y,…)=0 Найвищий порядок похідної при цьому називається порядком рівняння. Приклади. 1. Диференціальне рівняння другого порядку y+2y-3y=x2+1 . 2. Диференціальне рівняння третього порядку y=cos(x). Означення. Розв’язком диференціального рівняння називають функцію, яка в разі підстановки у рівняння перетворює його у тотожність. Приклади. 1. Розв’язками диференціального рівняня першого порядку y=3x2 є функції y=x3, y=x3+10, y=x3-3.5,… Отже, загальний розв’язок цього рівняння має вигляд y=x3+C , де C - довільна стала. 2. Загальним розв’язком рівняння другого порядку y=sin(x) є сім’я функцій (кривих) y= -sin(x)+C1x+C2, де C1 та C2 - довільні сталі. Частковими ж розв’язками є, наприклад, функції y= -sin(x)+10, y= sin(x)+2x+1 тощо. Крім звичайних диференціальних рівнянь, розглядають також рівняння з частинними похідними (шукана функція залежить від декількох змінних), наприклад: ux(x,y)+uy(x,y)=2u(x,y)+x+y Означення. Звичайним диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння, у яке входить змінна x, функція y та перша похідна y(x): F(x,y,y)=0 Розглянемо деякі способи розв’язування таких рівнянь. Означення. Диференціальне рівняння вигляду f1(x)2(y)dx+f2(x)1(y)dy=0 називається рівнянням з розділеними змінними. Приклади. 1. Розв’язати диференціальне рівняння. Виконуємо ділення на вираз, розділивши тим самим змінні: Почленно інтегруємо: застосовуючи послідовно заміни 1-x2=t (звідки -2xdx=dt; xdx=(-dt)/2) та 1-y2=u (звідки –2ydy=du; ydy=(-du)/2): Отримано загальний розв’язок (загальний інтеграл) диференціального рівняння, який є неявною функцією. 2. Розв’язати диференціальне рівняння y=7x+y . Розділяємо змінні: Інтегруємо праву та ліву частини: Позначивши сталу lnC (тобто, сталу, яка може набувати довільних значеннь) через C (ця нова константа також може приймати довільні значення), матимемо: -7y=7x+C . Отже, загальним розв’язком диференціального рівняння є неявна функція (що залажить від сталої C) 7y+7x=C . 3.Розв’язати диференціальне рівняння arctgy=arctgx+C . Отримано загальний розв’язок у неявому вигляді. Перейдемо до розв’язку у вигляді явної функції. Враховуючи той факт, що як стала C, так і стала arctgC , може набувати довільних значень, отримуємо: arctgy=arctgx+arctgC. Знайшовши тангенс від суми аргументів, одержуємо: (загальний розв’язок, записаний у явному вигляді). 8.2. Лінійні диференціальні рівняння Означення. Лінійне однорідне диференціальне рівняння першого порядку має вигляд y=a(x)y=0 Таке рівняння розв’язують як рівняння із розділеними змінними: загальний розв’язок. Означення. Лінійне диференціальне рівняння першого порядку має вигляд y+a(x)y=b(x) Одним із методів його розв’язування є шукання розв’язку у вигляді Приклад. Розв’язати лінійне (неоднорідне) рівняння Розв’язок однорідного рівняння y+2xy=0 має вигляд Розв’язок неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді де C(x) функція від x. Знайдемо похідну від цього виразу: і підставимо відшукані значення y та y в початкове рівняння: С(x)=2x ; dC(x)=2xdx ; C(x)=x2+C . Отримуємо загальний розв’язок Приклад. Розв’язати лінійне рівняння першого порядку 2xy-y=3x2. Загальним розв’язком однорідного рівняння є сім’я функцій (або, іншими словами, функція, яка залежить від сталої C) Знаходимо загальний розв’язок початкового рівняння у вигляді. Підставляючи y та y в рівняння, маємо Отже, загальний розв’язок неоднорідного рівняння є таким: . Означення. Лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами – це рівняння вигляду y + py + qy=0 , де p та q - сталі величини. З метою розв’язування таких рівнянь будують характеристичне рівняння 2+p+q=0 Доведено, що у тому випадку, коли характеристичне рівняння має два різні дійсні корені 1 та 2 , загальний розв’язок диференціального рівняння такий: де C1 та C2 - довільні сталі. У випадку кратних дійсних коренів 1=2 характеристичного рівняння загальний розв’язок диференціального рівняння має вигляд Приклад. Розв’язати рівняння y+2y-15y=0. Будуємо характеристичне рівняння 2+2-15=0, звідки 1=3; 2=-5. Отже, загальний розв’язок є такий: Приклад. Розв’язати рівняння y+2y+y=0. Будуємо характеристичне рівняння 2+2+1=0, звідки 1=2=-1. Отже, загальний розв’язок. | |
| Переглядів: 561 | |
| Всього коментарів: 0 | |