| Головна » Статті » Математика | [ Додати статтю ] |
Диференціальні рівняння вищих порядків, що інтегруються в квадратурах
|
Диференціальні рівняння вищих порядків, що інтегруються в квадратурах Розглянемо деякі типи диференціальних рівнянь, що інтегруються в квадратурах. 1) Рівняння вигляду . Проінтегрувавши його -раз одержимо загальний розв’язок у вигляді . Якщо задані умови Коші , то розв’язок має вигляд 2) Рівняння вигляду . Нехай це рівняння вдалося записати в параметричному вигляді Використовуючи основне співвідношення , одержимо . Проінтегрувавши його, маємо . І одержимо параметричний запис рівняння -порядку Проробивши зазначений процес ще -раз, одержимо загальний розв’язок рівняння в параметричному вигляді 3) Рівняння вигляду . Нехай це рівняння вдалося записати в параметричному вигляді Використовуючи основне співвідношення , одержуємо . Проінтегрувавши, маємо . І одержали параметричний запис рівняння -порядку Використовуючи попередній пункт, понизивши порядок на одиницю, запишемо Проробивши останню процедуру -раз, запишемо загальний розв’язок у параметричному вигляді 4) Нехай рівняння вигляду можна розв'язати відносно старшої похідної . Домножимо його на й одержимо . Перепишемо його у вигляді . Проінтегрувавши, маємо , тобто , або . Таким чином одержали параметричний запис рівняння -порядку і повернулися до третього випадку. | |
| Переглядів: 551 | |
| Всього коментарів: 0 | |