| Головна » Статті » Математика | [ Додати статтю ] |
Частинні похідні. Повний диференціал
|
Означення. Нехай задано функцію z=f(x,y) і нехай деяку точку з області визначення цієї функції (x,y). Якщо аргумент x отримує приріст dx, а аргумент y – приріст dy, то вираз dz=f(x+dx,y+dy)-f(x,y) називають повним приростом функції f(x,y) . Означення. Функція f(x,y) називається неперервною у точці (x0,y0), якщо . Попередні означення легко переносяться із випадку двох змінних на випадок функції від n (n>2) змінних. Означення. Величини dxz=f(x+dx,y)-f(x,y) та dyz=f(x,y+dy)-f(x,y) називаються частинними приростами функції f(x,y) . Означення. Частинною (частковою) похідною від функції f(x,y) за аргументом x називається границя Частинну (часткова) похідну від функції f(x,y) за аргументом y визначаєють аналогічно. Для частинних похідних від функції f(x,y) використовують такі позначення : fx(x,y); zx; fy(x,y); zy; Частинні похідні та задають напрями дотичних до поверхні z = f(x,y). Варто пригадати, що звичайна похідна f(x) = задає напрям дотичної до кривої y = f(x). Приклади 1. Нехай 2. Нехай Q=K0.6L0.4. Знайдемо відповідні частинні похідні (Випуск продукції зростає зі збільшенням затрат як капіталу, так і праці). 3. Побудуємо другі частинні похідні від функції Q=K0.6L0.4 . (Граничний випуск продукції спадає зі збільшенням як затрат капіталу, так і затрат праці). 4. Знайдемо змішані частинні похідні другого порядку : Теорема: Якщо функція z = f(x,y) та її похідні zx , zy , zxy і zyx неперервні в точці (x,y) та деякому околі цієї точки, то zxy = zyx . Означення. Повним диференціалом dz від функції z =f(x,y) називають суму її частинних диференціалів : Приклад. Тоді Поняття повного диференціала має ряд застосувань. По-перше, величина dz є приростом (по z) дотичної площини до поверхні z =f(x,y), аналогічно до того, як диференціал dy від функції f(x) є приростом ординати дотичної до кривої y = f(x) (рис. 6.9,а - б). По-друге, за допомогою диференціала можна оцінити похибку функції від багатьох змінних, якщо відомі похибки аргументів: де - похибки аргументів. По-третє, з використанням диференціала можна знаходити похідні від функцій, заданих неявно. Приклад. Нехай та. Потрібно оцінити похибку функції. Маємо Нехай потрібно знайти похідну у тому випадку, коли функція задана неявно у вигляді . Узявши від функції F(x,y) повний диференціал, отримуємо звідки Приклад. Знайти похідну якщо Маємо звідки За допомогою неявних похідних в економіці визначають граничні норми (частки, квоти, rate) заміни. Приклад. Виробнича функція має вигляд Q=10x1+15x2, де x1 та x2 -затрати ресурсів (факторів виробництва). Потрібно знайти граничну норму технологічної заміни ресурсу x2 на ресурс x1 (під граничною нормою технологічної заміни ресурсу x2 на ресурс x1 в економіці розуміють додаткову кількість ресурсу x1, яка компенсує зменшення ресурсу x2 на одиницю). Очевидно, що ця гранична норма (MRTS) технологічної заміни в неперервному випадку є похідною від змінної x1 за змінною x2 за умови сталого випуску Q: Отже, у разі зменшення кількості ресурсу x2 на одиницю та одночасного збільшення ресурсу x1 на 1,5 одиниці випуск Q залишиться не змінниться (рис. 6.10). Приклад. Виробнича функція має вигляд Q=K0,6L0,4 (функція Кобба-Дугласа). Гранична норма (частка) технологічної заміни праці капіталом у цьому випадку с Як бачимо із останньої формули, значення MRTS (marginal rate of technological substitution) для функції Кобба-Дугласа залежить від співвідношення K/L. | |
| Переглядів: 651 | |
| Всього коментарів: 0 | |