Під час розв'язування багатьох практичних задач доводиться знаходити невідому функцію з рівняння, яке містить поряд з цією невідомою функцією її похідні.

Рівняння, яке містить невідому функцію та її похідні, називається диференціальним. Порядок найвищої похідної, яка входить до диференціального рівняння, називається його порядком. Наприклад, рівняння у" + 4у — 0 є диференціальним рівнянням другого порядку.

Якщо до рівняння входить незалежна змінна, невідома функція і її похідна, то це рівняння називається диференціальним рівнянням першого порядку. Якщо, крім того, в рівняння входить похідна другого порядку від шуканої функції, то рівняння називається диференціальним рівнянням другого порядку і т. д.

Будь-яку функцію, що задовольняє диференціальне рівняння, називають розв'язком, або інтегралом цього рівняння, а розв'язування диференціального рівняння — інтегруванням. Наприклад, функція у = е^х є розв'язком диференціального рівняння у — у' = 0, бо (е^х)' = е^х.

Функція у — cos х є розв'язком диференціального рівняння у" + у = 0.

Справді, для функції у = cos х, маємо:

у" — —cos х. Підставляючи значення у" в рівняння у" + у = 0, дістанемо — cos х + cos х = 0.

Аналогічно можна переконатися, що функція у = = A sin х + В cos х, де А і В — довільні сталі, та'кож є розв'язком даного рівняння. (Самостійно виконайте необхідні перетворення.)

Загальним розв'язком даного диференціального рівняння називається розв'язок (якщо він існує), у якого число довільних сталих дорівнює "порядкові рівняння.

Розв'язок диференціального рівняння при певних, значеннях довільних сталих називається окремим розв'язком цього диференціального рівняння.

Так, у розглянутому вище прикладі у" + у = 0 розв'язок у = A sin х + В cos х є загальним, а розв'язок у = = cos х — окремим.

На практиці здебільшого окремий розв'язок конкретного диференціального рівняння знаходять із загального розв'язку, виходячи з деяких умов, яким має задовольняти шуканий окремий розв'язок. Умови, яким має задовольняти окремий розв'язок даного диференціального рівняння, називають початковими умовами.

Задача відшукання конкретного окремого розв'язку даного диференціального рівняння за початковими умовами називається,задачею Коші.

Приклади. Знайти окремий розв'язок диференціального рівняння

уу'+ 2х = 0, (1)

яке задовольняє початковим умовам: у = 4, х = 3, якщо загальний розв'язок даного рівняння задано у вигляді

х² + у² = а². (2)

Розв'язання. Підставивши в загальний розв'язок (2) початкові умови, дістанемо значення довільної сталої З² + 4² = а², звідси а = ±5. Отже, шуканий окремий розв'язок диференціального рівняння (1) для заданих початкових умов є функція у, задана рівнянням х² +у² = = 25.

Дамо геометричну інтерпретацію розв'язку рівняння (І).

Оскільки кожний окремий розв'язок даного рівняння є деякою функцією однієї змінної, то в прямокутній системі координат на площині цьому розв'язку відповідає деяка лінія. Ця лінія називається інтегральною кривою даного диференціального рівняння. Загальному розв'язку диференціального рівняння відповідає множина всіх інтегральних кривих цього рівняння, яка називаєтьсясім'єю інтегральних кривих диференціального рівняння.

Ми встановили, що окремим розв'язком рівняння уу' + + 2x = 0 при початкових умовах х = 3 і у = 4 є крива х² + у² = 25, а загальним розв'язком х² + у² = а².

У системі координат на площині загальний розв'язок задає множину концентричних кіл з центром у початку координат. Початкові умови означають, що серед цієї множини кіл треба взяти те, яке проходить через точку з координатами х = 3, у = 4. Це коло радіуса 5, тобто х² + у² = 25.

Багато фізичних законів мають вигляд диференціальних рівнянь. Інтегрування цих рівнянь — складна справа. Одні диференціальні рівняння вдається розв'язати в явному вигляді, тобто записати шукану функцію у вигляді формули. Для інших ще й досі не знайдено зручних формул. У цих випадках знаходять наближені розв'язки за допомогою ЕОМ. Диференціальні рівняння досить просто і повно описують виробничі процеси. Тому важливо не лише вміти їх розв'язувати, а а складати.

Розглянемо деякі приклади.

ІСТОРИЧНА ДОВІДКА

У кінці XVII — на початку XV1I1 ст. різноманітні практичні і наукові проблеми привели до появи диференціальних рівнянь. Насамперед це були диференціальні рівняння першого порядку, інтегрування яких намагалися здійснити за допомогою функцій, що виражають скінченне число алгебраїчних дій або таких, що включають елементарні неалгебраїчні дії, наприклад оперування тригонометричними функціями.

Найпростіші диференціальні рівняння з'явилися вже в працях Ісаака Ньютона (1643—1727) і Готфріда Лейбніца (1646 1716) Саме Лейбніцу і належить термін «диференціальне рівняння» Диференціальні рівняння мають велике прикладне значення, вони е знаряддям дослідження багатьох задач природознавства і техніки. їх широко використовують в механіці, астрономії, фізиці, у багатьох задачах хімії, біології Це пояснюється тим, що досить часто об'єктивні закони, яким підпорядковуються певні явища (процеси), записують у формі диференціальних рівнянь, а самі ці рівняння є засобом для кількісного вираження цих законів.

Наприклад, фізичні закони описують деякі співвідношення між величинами, що характеризують певний процес, і швидкістю зміни цих величин Іншими словами, ці закони виражаються рівностями, в яких є невідомі функції та їх похідні.

У XVIII ст теорія диференціальних рівнянь відокремилася з математичного аналізу в самостійну математичну дисципліну. Її успіхи

пов'язані з іменами швейцарського вченого Іоганна Бернуллі (1667—1748), французького математика Жозефа Лагранжа (1736—1813) і особливо Леонарда Ейлера.

Перший період розвитку диференціальних рівнянь був пов'язаний з успішним розв'язуванням деяких важливих прикладних задач, що приводять до диференціальних рівнянь, розробкою методів інтегрування різних типів диференціальних рівнянь і пошуком класів рівнянь, розв'язки яких можна подати у вигляді елементарних функцій або їх первісних. Проте дуже швидко виявилося, що інтегровних диференціальних рівнянь зовсім небагато. Це привело до розвитку власне теорії диференціальних рівнянь, яка займається розробкою методів, що дають змогу за властивостями диференціального рівняння визначити властивості і характер його розв'язку.

У зв'язку з потребами практики поступово розроблялися і способи наближеного інтегрування диференціальних рівнянь. Ці методи дають зручні алгоритми обчислень з ефективними оцінками точності, а сучасна обчислювальна техніка дає змогу економічно і швидко звести розв'язування кожної такої задачі до числового результату.

11. Відомо, ідо за 1 рік маса бактерій подвоюється, а швидкість розмноження прямо пропорційна наявній кількості бактерій. Скласти диференціальне рівняння- розмноження бактерій і знайти його загальний розв'язок.

12. Відомо, що за 1 годину маса радіоактивної речовини зменшується на і %, Скласти диференціальне рівняння напіврозпаду і знайти його загальний розв'язок.

13. Знайти період піарозпаду радіоактивної речовини за умовою попередньої задачі.

14. Період напіврозпаду речовини становить дві доби. Через який час її маса зменшиться в 1000 раз?

15. Від а мг речовини через t хв радіоактивного розпаду залишалося Ь мг. Знайти її період напіврозпаду.