Загальні властивості однозв’язних відкритих ліній передачі. [5, 6]

Круглий діелектричний хвилевід. Плоский діелектричний хвилевід. Структура і параметри діелектричних хвилеводів. Світловоди. Квазіоптичні лінії передачі. [5, 6]

У хвилеводах з провідними стінками поле зосереджене в просторі між стінками. У напрямних системах типу двопровідної лінії поле поширюється в просторі на деяку відстань від проводів лінії, спадаючи, у випадку Т-хвилі, обернено пропорційно відстані до них. Існують й інші лінії передачі відкритого типу, в яких можуть поширюватись хвилі ТМ- та ТЕ-типу. Такими є діелектричні пластини, або металічні циліндри (однопровідна лінія). Такі лінії складаються, по крайній мірі, з двох різнорідних шарів (діелектрик-повітря, поверхня провідника-повітря), так що збуджені в них хвилі почергово переходить з одного шару в інший. Величина фазового коефіцієнта хвилі β знаходиться між значеннями хвильових чисел і шарів:

k1 > β > k2. (8.1)

Внаслідок цього фазова швидкість vф хвилі в лінії виявляється меншою ніж у другому середовищі з меншою оптичною густиною. Така хвиля називається уповільненою. Напруженість поля уповільненої хвилі в другому середовищі (з параметрами ε2, μ2) спадає при віддалення від граничної поверхні; основна частина енергії в цьому середовищі поширюється поблизу поверхні і паралельно до неї, тому цю хвилю називають ще поверхневою. Лінії, в яких можуть поширюватись хвилі цього типу називають лініями (хвилеводами) поверхневої хвилі або уповільнюючими системами.

Хвиля, що поширюється в лінії поверхневої хвилі, являє собою єдиний хвильовий процес, залежність якого від координати z і часу t описується функцією типу e-γz eiωt = e-αz∙e-i(βz – ωt), де γ = α + iβ – коефіцієнт поширення хвилі. Якщо знехтувати втратами в середовищах, то спільний множник для усіх компонент поля хвилі запишеться у вигляді e-i(βz – ωt), причому для кожного з ідеальних середовищ повинні виконуватись рівності

, . (8.2)

Тоді виконання умови (8.1) вимагає виконання нерівностей

, , (8.3)

з чого випливає, що k┴2 – уявна величина. Позначивши її k┴2 ≡

≡ - iζ, рівняння поля (5.11) для другого середовища можна записати у вигляді

, , (8.4)

де ζ – поперечний коефіцієнт поверхневої хвилі, – дійсна величина, що характеризує швидкість спадання поверхневої хвилі при віддаленні від поверхні лінії.

Введемо такі позначення для поперечних коефіцієнтів і відносних проникностей середовищ:

χ ≡ k┴1, ζ ≡ k┴2, ε ≡ ε1/ε2, μ ≡ μ1/μ2, (8.5)

тоді , а

, . (8.6)

Нехай а – характерний розмір лінії (наприклад, товщина діелектричної пластини). Помноживши різницю рівностей (8.6) на а2, отримаємо рівняння для безрозмірних величин:

. (8.7)

Введемо також нормовані поперечні коефіцієнти , і нормовану частоту

, (8.8)

де v2 – фазова швидкість хвилі в другому середовищі. За допомогою цих позначень рівність (8.7) записується у вигляді

. (8.9)

Вираз (8.9) можна використати для знаходження поперечних коефіцієнтів, тому його називають рівнянням нормованих поперечних коефіцієнтів.

Якщо нормовані поперечні коефіцієнти знайдені, то з (8.6) можна знайти коефіцієнт фази

(8.10)

і фазову швидкість поверхневої хвилі

. (8.11)

З (8.11) видно, що фазова швидкість поверхневої хвилі менша її фазової швидкості в оточуючому середовищі, причому уповільнення тим сильніше, чим більше ζ (сильне згасання хвилі в поперечному напрямку). Крім того, з (8.11) і (8.9) випливає, що фазова швидкість поверхневої хвилі залежить від частоти – має місце дисперсія хвилі. Її групова швидкість

u = dω/dβ = vф2(dk2/dχ)/(dβ/dχ)

визначається відношенням двох похідних:

(8.12)

та

, (8.13)

де

(8.14)

– стрімкість квадратичної дисперсійної кривої в системі координат χ2-ζ2; вона визначається з дисперсійного рівняння. Використовуючи (8.12 – 14), одержуємо формулу для обчислення групової швидкості:

. (8.15)

Для знаходження поперечних коефіцієнтів хвилі χ та ζ одного рівняння (8.9) недостатньо, його потрібно доповнити ще одним співвідношенням, що пов’язує ці величини (його називають дисперсійним рівнянням). Вигляд дисперсійного рівняння визначається для кожного конкретного типу лінії.

Круглий діелектричний хвилевод являє собою діелектричний суцільний циліндр радіуса a, оточений діелектриком з меншою діелектричною проникністю ε2 (найчастіше – повітрям). Принцип дії хвилеводу такого типу ґрунтується на явищі повного внутрішнього відбивання хвилі від межі розділу середовищ.Структура поля всередині діелектричного хвилеводу (r < a) в циліндричній системі координат, вісь Oz якої співпадає з напрямком його осі, описується аналогічно до випадку поля в круглому металевому порожнинному хвилеводі співвідно-шеннями типу (6.7), (6.8):

, (8.16)

. (8.17)

Тут E0 і B0 – поздовжні компоненти поля при r = a, а постійна величина Jm(χa) введена для зручності запису подальших співвідношень.

У зовнішньому середовищі (r > a) структура поля описується співвідношеннями

, (8.18)

, (8.19)

де Km(ζr) – функція Макдональда [7]. При малих значеннях аргументу функція Макдональда Km(ξ) повільно спадає:

; , при ξ > 1.

Тому поле на відстанях від поверхні хвилеводу, більших деякого значення r0 поле практично відсутнє. Отже, хвиля (8.18-19) відповідає умовам поверхневої хвилі. Величина r0 називається граничним радіусом поля в діелектричному хвилеводі; в якості такого вибирають величину r0 = 1/ζ, оскільки при такому виборі всередині круга граничного радіуса переноситься значна частина (80 ... 90 всієї енергії хвилі.

Перенос енергії вздовж хвилеводу здійснюється обома хвилями: напрямленою, що поширюється всередині циліндра з діелектричною проникністю ε1 та поверхневою – над ним. Як і в металевому круглому хвилеводі, в хвилеводі даного типу можуть поширюватись хвилі типу TEmn і TMmn. Однак різниця граничних умов на поверхні діелектричного і в стінках металевого хвилеводів приводить до того, що в діелектричному хвилеводі ці хвилі можуть існувати тільки за наявності аксіальної симетрії поля (m = 0), тобто симетричні хвилі TE0n і TM0n. Несиметричні хвилі (m > 0) утворюють гібридні хвилі ЕН або НЕ. Якщо Hz > Ez, то хвиля позначається HEmn, якщо навпаки, то – EHmn.

Дисперсійне рівняння для діелектричного хвилеводу має вигляд

, (8.20)

де

;

– допоміжні функції, а m-характеристичне число (порядок функ-цій Бесселя і Макдональда). Дисперсійне рівняння (8.20) транс-цендентне, тому залежності між та визначаються для кожного m чисельними методами. При цьому кожному значенню m відповідає нескінчена множина можливих значень n, тобто нескінчений набір хвиль.

У випадку симетричних хвиль m = 0, тому дисперсійне рівняння (8.20) спрощується, набуваючи вигляду

(8.21)

для ТМ-хвиль, та

(8.22)

для ТЕ-хвиль.

У випадку гібридних хвиль існують обидві поздовжні складові поля Ez і Bz; відношення їх величин дещо змінюється при зміні частоти. При кожному m дисперсійне рівняння має два розв’язки, чому відповідає два класи гібридних хвиль - HEmn або EHmn. Визначення поперечних коефіцієнтів на кожній частоті вимагає знаходження сумісного розв’язку рівнянь (8.20) і (8.9). Графіком останнього на площині O є коло радіуса F. При заданому значенні частоти величини і знаходяться як координати точки перетину цього кола з графіком функції-розв’язку дисперсійного рівняння (8.20), побудованого у тій самій системі координат.

На практиці найчастіше використовуються двошарові світловоди, що складаються з діелектричного стрижня радіуса a (наприклад, скловолокна), та оболонки, виготовленої з матеріалу, показник заломлення n2 якої менший, ніж показник заломлення осердя n1, але більший, ніж у повітря: n1 > n2 > n3. Зокрема, таку будову має волоконний світловод, призначений для роботи в оптичному діапазоні частот (f = 1013 ... 1015 Гц). На межі “осердя – оболонка” забезпечується повне внутрішнє відбивання, що дозволяє ізолювати сусідні волокна одне від одного. Практично увесь потік енергії поширюється вздовж внутрішнього циліндра зі швидкістю v ≈ u ≈ c/n1.

Критична довжина хвилі діелектричного хвилеводу визначається за формулою

, (8.23)

де a – радіус стрижня, νmn – корені функції Бесселя, значення яких для різних типів хвиль наведені в табл. 2 додатку.

Аналіз формули (8.23) і значень νmn дозволяє стверджувати, що основною хвилею діелектричного хвилеводу є НЕ11, для якої λкр = ∞, отже, вона може поширюватись при довільних частотах і радіусах осердя, подібно до Т-хвилі в коаксіальній лінії.

Частота, при якій поверхнева хвиля в лінії перетворюється в неспрямовану плоску хвилю, називається граничною; на такій частоті ζ = 0. Значення граничної частоти визначається типом поверхневої хвилі. Зокрема, для хвилі НЕ11 при ζ = 0 також і χ = 0, з чого за умови (8.9) випливає рівність F = 0, тобто гранична частота цієї хвилі рівна нулю.Потік енергії, що передається вздовж діелектричного хвилеводу, розподіляється між внутрішнім стрижнем та середовищем, що його оточує. З ростом частоти концентрація поля всередині хвилеводу зростає від нуля на граничній частоті до нескінченності на дуже високих частотах. Повна потужність хвилі дорівнює сумі потужностей хвилі всередині кожного з середовищ: N = N1 + N2; при цьому в кожному з них мають місце втрати енергії, що визначаються коефіцієнтами згасання, які знаходяться за формулою (6.12).

Якщо хвилевод виготовлено з двох шарів діелектрика з однаковими кутами втрат δ, то для нього

. (8.24)

Істотний виграш у втратах енергії досягається у випадку, коли другим середовищем є повітря (ε2 = 1), діелектричні втрати якого в декілька порядків менші, ніж в діелектрику, з якого виготовлено хвилевод (ε1 = 2 ... 2,5). В цьому випадку

, (8.25)

тобто втрати пропорційні до величини N1, з чого випливає, що втрати зменшуються при зменшенні частоти.

Плоский діелектричний хвилевод являє собою довгу тонку діелектричну плівку, поперечний переріз якої – прямокутник з основою a і висотою d. Плівка, показник заломлення якої n1, нанесена на діелектричну основу такого ж профілю, тільки більших розмірів, з більшим показником заломлення n2 таким, що n1 > n2 > n3, де n3 – показник заломлення оточуючого середовища (повітря). Оскільки a >> d, поле вздовж основи плівки практично однорідне; в таких хвилеводах можуть існувати хвилі TMm0 і TEm0 (m – кількість повних стоячих півхвиль поля вздовж напрямку d). На відміну від металевих хвилеводів, поле на верхній і ніжній основах не зникає, оскільки там існує поверхнева хвиля. В плос-ких хвилеводах можуть поширюватись хвилі TM00 і TE00, в яких вздовж напрямку d укладається неповна стояча хвиля і m = 0.

Для характеристики режиму роботи плоского хвилеводу вводиться поняття критичної товщині плівки dкр, що відповідає значенню λкр. Для хвиль TMm0 і TEm0

, (8.26а)

, (8.26б)

а кількість мод (типів хвиль)

. (8.27)

У плоских хвилеводах ; хвиля ТЕ00 є основною, їй відповідає максимальна λкр і мінімальна dкр.