| Головна » Статті » Фізика | [ Додати статтю ] |
Основні задачі математичної фізики
|
Лекція №1 План 1. Приклади фізичних процесів, що приводять до крайових задач для диференціальних рівнянь в частинних похідних. 2. Приклади постановок таких задач. 3. Класифікація диференціальних рівнянь 2-го порядку в частинних похідних. 4. Рівняння коливань струни. 5. Розв’язок задачі Коші методом Даламбера Питання для самоконтролю. Лекція №1. 1. В чому полягає дисципліна: рівняння математичної фізики? 2. Від чого залежить розв’язування рівнянь з частинними похідними 2-го порядку? 3. Приклади рівнянь еліптичного типу. 4. Як називається і до якого типу належить рівняння: ? 5. В чому полягає крайова задача для рівняння коливання струни? 6. Записати формулу Даламбера, яка дає розв’язок одномірного однорідного хвильового рівняння. Література: 1. А.Н.Тихонов, А.А.Самаровский "Уравнения математической физики”, Гостехиздат, 1954. 2. Н.С.Пискунов "Диференциальное и интегральное исчисление”, т.ч., Москва, 1972. 3. П.И.Чинаев, Н.А.Минин и др. "Висшая математика, специальные главы”, Киев, 1981. 4. О.В.Мантуров та ін. "Математика в поняттях, означеннях, термінах”, т.ч., Київ, 1986. 5. П.Е.Данко, А.Г.Попов "Высшая математика в упражнениях и задачах”, ч.2, Москва, 1974. Лекція №1. Тема: Основні задачі математичної фізики. В курсі вищої математики вивчалися звичайні диференціальні рівняння, розв’язками яких є функції відносно аргументу. Але багато задач в математиці, фізиці, електроніці, радіотехніці та в інших науках приводять до диференціальних рівняннь відносно функцій двох, трьох та більше числа аргументів – диференціальні рівняння в частинних похідних. Існує спеціальна дисципліна, яка полягає в математичному опису явищ, пов’язаних з деякими фізичними процесами, що описуються за допомогою рівняннь у частинних похідних і (рідко) за допомогою інтегральних рівняннь або інтегро-диференціальних рівняннь. Ця математична диспліна називається рівняннями математичної фізики. Провідне місце в рівняннях математичної фізики посідає теорія рівняннь з частинними похідними 2-го порядку: де аij, bi, c – задані функції змінних х1, х2, …, х3 (n 2). Властивості розв’язування цих рівняннь істотно залежать від знаків коренів характеристичного рівняння det(|| alk|| - E)=0. Так для диференціального рівняння з частинними похідними 2-го порядку характеристичне рівняння буде: d11dy2-2a12dxdy+a22dx2=0. Інтеграли цього рівняння називаються характеристиками. Це характеристичне рівняння можна записати й так Якщо а12-а11а22>0, то інтеграли характеристичного рівняння (х,у)=С1 і (х,у)=С2 дійсні і різні. В цьому випадку кажуть, що рівняння має гіперболічний тип. Якщо , то характеристичне рівняння має комплексні (спряжені) загальні інтеграли і є рівнянням еліптичного типу. І якщо , то характеристичне рівняння має комплексні (спряжені) загальні інтеграли і є рівнянням еліптичного типу. До рівнянь гіперболічного типу приводять задачі про коливання суцільних середовищ і задачі про електромагнітні коливання: процеси поперечних коливань струни, поздовжніх коливань стержня, електричних коливань в проводі, крутильних коливаннь валу, коливань газу і т. д. Найпростішим з них є хвильове рівняння , відкрите Ейлером у 1759році. Рівняння параболічного типу дістають при дослідженні таких фізичних явищ, як теплопровідність, дифузія, поширення електромагнітних хвиль у провідних середовищах, рух в’язкої рідини, деякі питання теорії імовірностей і т. д. Найпростішим з них є рівняння теплопровідності, або рівнянням Фур’є: До рівняннь еліптичного типу приводить вивчення різних стаціонарних процесів (електростатика, магнітостатика, потенціальний рух рідини, що не стискується, тощо). Найпростішими з них є рівняння U=0 (Лапласа); U=C (Пуассона), а також рівняння, яке розглядав Ейлер: U+kU=0, і полігармонійні рівняння. В кожному з цих типів рівняннь шукана функція U залежить від двох змінних. Розглядаються також відповідні рівняння і для функції з більшими числом змінних. Так хвильове рівняння з трьома незалежними змінними має вид: рівняння теплопровідності з трьома незалежними змінними має вид: рівняння Лапласа з трьома незалежними змінними має вид: Тема: Рівняння коливань струни. В математичній фізиці під струною розуміють гнучку ніть. Напруги, що з’явились в струні в любий момент часу, напрямлені по дотичній до її профелів. Нехай струна довжини l в початковий момент напрямлена по відрізку осі 0Х від 0 до l. Припустимо, що кінці струни закріплені в точках Х=0 і Х=l. Якщо струну відхилити від її початкового положення, а потім предоставить самій собі або, не відхиляючи струни, придати в початковий момент її точкам деяку швидкість, або відхилити струну і придати її точкам деяку швидкість, то точки струни будуть виконувати рух – говорять, що струна починає коливатись. Задача заключається у ввизначенні форми струни в любий момент часу і у визначенні закону руху кожної точки струни в залежності від часу. Розглянемо малі відхилення точок струни від початкового положення. В силу цього можна припускати , що рух точок струни проходить перпендикулярно осі 0Х і в одній площі. При цьому препущенні процес коливань струни описується однією функцією u(x,t), яка дає величину переміщення точки струни з абсцисой х в момент t (рис.1). Так як ми розглядаємо малі відхилення струни в площі (x,u), то будемо припускати, що довжина елемента струни М1М2 рівна її проекції на вісь 0Х, М1М2=х2-х1. Також будем припускати, що натяг в усіх точках струни однаковий; позначимо його як Т. Розглянемо елемент струни ММ' (рис 2). На кінцях цього елемента, по дотичним до струни, діють сили Т. нехай дотичні створять з віссю 0Х кути та + . тоді проекція на вісь 0u сил, діючих на елемент ММ', буде рівна Тsin(+)-Tsin. Так як кут малий, то можна покласти tg=sin, і ми отримаємо : (тут ми примінили теорему Лагранжа до виразу, що стоїть у квадратних душках). Щоб получити рівняння руху, потрібно зовнішні сили прирівняти силі інерції. Нехай - лінійна щільність струни. Тоді маса елемента струни буде х. Прискорення елемента дорівнює . Отже, по принципу Даламбера будем мати: Скорочуючи на х і позначаючи , получаємо рівняння руху . (1) Це і є хвильове рівняння – рівняння коливань струни. Для повного визначення руху струни одного рівняння (1) недостатньо. Шукана функція u(x,t) повинна ще задовільнятись граничним умовам, вказуючим, що робиться на кінцях струни (х=0 і х=1), та початковим умовам, описуючим стан струни в початковий момент (t=0). Суцільність граничних та початкових умов називається краєвими умовами. Нехай, наприклад, як ми припускали, кінці струни при х=0 і х=1 нерухомі. Тоді при довільному t мають виконуватись рівності: u(0,t)=0, u(l,t)=0. Ці рівності є граничними умовами для нашої задачі. В початковий момент t=0 струна має визначену форму, яку ми їй надали. Нехай ця форма визначається функцією f(x). Таким чином, має бути . (2) Далі, в початковий момент має бути задана швидкість в кожній точці струни, яка визначається функцією (х).Таким чином, має бути . (3) Умови (2) і (3) являються початковими умовами. Тема: Розв’язок задачі Коші методом Даламбера. Розглянемо ще один метод рішення хвильового рівняння – метод Даламбера. Візьмем випадок, коли граничні умови нас не цікавлять або коли їх можна не враховувати. В цих випадках задача ставиться так: Знайти рішення хвильового рівняння Utt-a2uxx=0 (t=y, a11=-a2, a12=0, a22=1), Задовільняюче початковим умовам U(x,0)=(x); ut(x,0)=(x) де (х) і (x) – задані у функції. Зведем хвильове рівняння до канонічного виду, що містить змішану похідну. Тут характеристичне рівняння A11dt2-2a12dxdt+a22dx2=0 Прийме вид -a2dt2+dx2=0, або dx2-a2dt2=0. Воно розпадається на два рівняння: dx-adt=0 і dx+adt=0 інтеграли яких будуть x-at=C1, x+at=C2 введемо нові змінні =x-at, =x+at. Тоді х=1, t=-a, x=1, t=a, ux=ux+ux=u+u, uxx=ux+ux+ux+ux=u+2u+u, ut=ut+ut=-au+au, utt=-aut-aut+aut+aut=a2u-2a2u+a2u. Підставивши uxx, utt в вихідне рівняння, отримаємо a2u-2a2u+a2u-a2(u+2u+u)=0, -4a2u=0, u=0. Отримане рівняння можна записати як: . Звідси випливає, що u не залежить від : u=f*(), де f*() – довільна функція . | |
| Переглядів: 681 | |
| Всього коментарів: 0 | |