| Головна » Статті » Фізика | [ Додати статтю ] |
Модальні групи структурні властивості
|
Модальні групи (структурні властивості) Різноманітні дослідження багатьох математиків [3-4] присвячені вивченню зв’язків між будовою групи G і будовою решітки її підгруп LG. Встановлено, що будова цієї решітки суттєво впливає на будову самої групи G. Привертають особливу увагу групи G для яких решітка підгруп LG належить фіксованому многовиду решіток . Клас всіх таких груп позначимо . Зрозуміло, що клас замкнений відносно підгруп і гомоморфних образів. В подальшому клас груп називається групоїдом. Так як перетин довільного сімейства групоїдів є групоїдом, то сукупність Г всіх групоїдів відносно включення утворює повну решітку. Відображення є гомоморфізмом решітки всіх многовидів решіток L на решітку групоїдів Г. Як доведено в [1], гомоморфізм не є ізоморфізмом. Фундаментальні результати для класа модулярних груп (М), класа дистрибутивних груп (D) та ін. викладено в монографії [5]. Многовид модальних решіток Un введений Йонсоном [6]. Згідно з означенням, група G (Un) тоді і тільки тоді, коли решітка її підгруп задовольняє включення: T (Ai + Aj) , де і, j = 1,…, n; причому і j. Якщо l < m, то очевидно (Ul) (Um). Зрозуміло також, що (U2) = (D). Опис класів (U3) і (U4) дано в роботах [1–2]. В даній роботі дається характеристика абелевих груп і неабелевих спеціальних груп групоїда (U5). 1. Опис групоїда (U3). Група G є модальною тоді і тільки тоді, коли вона має таку будову: G – локально циклічна група; G {Q, B}, де Q – група кватерніонів, а В – нециклічна група 4-ого порядку; G = A B*, де А {Q, B} і В* – локально циклічна група, кожний елемент якої має непарний порядок. Із цього результату, зокрема, випливає включення (U3) (M), тоді як многовиди решіток U3 і М неможливо порівняти. Кожна 3-модальна група задовольняє тотожність [x, y2] = 1. 2. Опис групоїда U4). Істотним в описі 4-модальних груп є наступний крітерій, який має місце для довільного параметра n. Група G – модальна тоді і тільки тоді, коли для довільного елемента t і t , порядки k1,…, kn елемента t, відносно підгруп Аі,…, An, взаємно прості в сукупності, причому хоча б два з них відмінні від нуля. Абелева група G є модальною (4-модальною) тоді і тільки тоді, коли вона належить до одного з наступних типів: G – локально циклічна група; G {В, С}, де В – нециклічна група 4-ого порядку або прямий добуток циклічної групи 4-го порядку на групу 2-го порядку, а С – нециклічна група 9-го порядку; G = В С K, де K – локально циклічна періодична група, причому (B, K) = (C, K) = 1. Всяка 4-модальна група G задовольняє тотожність [x2, y2] = 1. Опис 4-модальних неабелевих груп, які задовольняють тотожність [x, y2] = 1, дається наступним твердженням. Для неабелевої періодичної групи G наступні умови рівносильні: G – модальна і задовольняє тотожність [x, y2] = 1; G = Q C K, де K – локально циклічнагрупа, (Q, K) = (C, K) = 1 і C або K можуть бути і одиничними групами. Групу S3(m) виду: , будемо називати узагальненою симетричною групою. Маємо наступний опис неабелевих модальних груп, параметру n = 4. Групи із класу (U4) мають наступну будову: G = Q C B, де B – локально циклічна періодична група, (C,  = (Q, = 1 і C або B можуть бути і одиничними групами; G = A S, де А – абелева періодична модальна група, а S – узагальнена симетрична група, причому (A, S) = 1. 3. Будова деяких груп із класу (U5). Довільна група G, із вказаного класу, задовольняє тотожність [x6, y6] = 1. Крім того, для довільних елементів x, y G (U5) має місце рівність ху6х –1 = у6l, де число l залежить від елементів х і у. Для абелевих модальних груп справедлива наступна теорема. Теорема 1. Абелева група G є модальною тоді і тільки тоді, коли G – локально циклічна група; G {C, D}, де С – нециклічна група 9-го порядку, D {B2 B2, B4 B2, B8 B2, B4 B4, E(2, 8)} і Bl – циклічна група l-го порядку; G = C D T, де Т – локально циклічна періодична група, причому (С, Т) = (D, T) = 1. Якщо в періодичній модальній групі G = елемент c = [a, b] 1 міститься в центрі групи G, то G містить: або групу кватерніонів Q, або групу діедра D8, або групу Т3, де Т3 має вигляд: . Опис спеціальних модальних груп дається наступною теоремою. Теорема 2. Для неабелевої періодичної групи G наступні умови рівносильні: G – модальна і задовольняє тотожність [x, y2] = 1; G = A B, де А – абелева, модальна і періодична, а В {Q, Q*, D8, T3}, причому (А, В) = 1. Тут Q* = Q {1, u}, де u2 = 1; Е(2, 8) – елементарна абелева група 8-го порядку. | |
| Переглядів: 560 | |
| Всього коментарів: 0 | |