Головна » Статті » Математика [ Додати статтю ]

Декартів (прямий) добуток множин. Відповідності, функції і відображення.
Декартів (прямий) добуток множин. Відповідності, функції і відображення 1. Декартів (прямий) добуток множин

Окремо розглянемо ще одну дуже важливу операцію над множинами.

Декартовим (прямим) добутком множин A і B (записується A´B) називається множина всіх пар (a,b), в яких перший компонент належить множині A (aÎA), а другий - множині B (bÎB).

Тобто

A´B = {(a,b) | aÎA і bÎB } або (a,b)ÎA´B Û

Декартів добуток природно узагальнюється на випадок довільної скінченної сукупності множин. Якщо A1, A2,..., An - множини, то їхнім декартовим добутком називається множина

D = { (a1,a2,...,an) | a1ÎA1, a2ÎA2,..., anÎAn },

яка складається з усіх наборів (a1,a2,...,an), в кожному з яких i-й член, що називається i-ю координатою або i-м компонентом набору, належить множині Ai, i=1,2,...,n. Декартів добуток позначається через A1´ A2´...´ An.

Набір (a1,a2,...,an), щоб відрізнити його від множини, яка складається з елементів a1,a2,...,an, записують не у фігурних, а в круглих дужках і називають кортежем, вектором або впорядкованим набором. Довжиною кортежу називають кількість його координат. Два кортежі (a1,a2,...,an) і (b1,b2,...,bn) однакової довжини вважаються рівними тоді і тільки тоді, коли рівні їхні відповідні координати, тобто ai=bi, i=1,2,...,n. Отже, кортежі (a,b,c) і (a,c,b) вважаються різними, в той час як множини {a,b,c} і {a,c,b} - рівні між собою.

Декартів добуток множини A на себе n разів, тобто множину A´A´...´A називають n-м декартовим (або прямим) степенем множини A і позначають An.

Прийнято вважати, що A0 = Æ (n=0) і A1 = A (n=1).

Приклад 1.9. 1. Якщо A = {a,b} і B = {b,c,d}, то

A´B = {(a,b),(a,c),(a,d),(b,b),(b,c),(b,d)},

A2 = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)}.

2. Якщо R - множина дійсних чисел або множина точок координатної прямої, то R2 - це множина пар (a,b), де a,bÎR, або множина точок координатної площини.

Координатне зображення точок площини вперше було запропоновано французьким математиком і філософом Рене Декартом, тому введена теоретико-множинна операція і називається декартовим добутком.

3. Скінченна множина A, елементами якої є символи (літери, цифри, спеціальні знаки тощо), називається алфавітом. Елементи декартового степеня A називаються словами довжини n в алфавіті A. Множина всіх слів в алфавіті A - це множина

A* = {e} È A È A2 È A3 È... = {e}È Ai,

де e - порожнє слово (слово довжини 0), тобто слово, яке не містить жодного символу алфавіту A.

Замість запису слів з An у вигляді кортежів (a1,a2,...,an) частіше використовують традиційну форму запису слів у вигляді послідовності символів a1a2...an, ajÎA, j=1,2,...,n. Наприклад, 010111, 011, 0010, 100, 010 - слова в алфавіті B = {0,1}, а 67-35, -981, (450+12)/27, 349*2+17 - це слова в алфавіті C = {0,1, 2,3,4,5,6,7,8,9,+,-,*,/,(,)}.

Операція декартового добутку неасоціативна і некомутативна, тобто множини (A´B)´C і A´(B´C), а також множини A´B і B´A, взагалі кажучи, нерівні між собою.

Зв’язок декартового добутку з іншими теоретико-множинними операціями встановлюється такими тотожностями:

(A È cool ´ C = (A´C) È (B´C),

(AÇB) ´ C = (A´C)Ç(B´C),

A ´ (B È C) =(A´B) È (A´C), (1.8)

A ´ (BÇC) =(A´B)Ç(A´C).

Проекцією на i-у вісь (або i-ою проекцією) кортежу w=(a1,a2,...,an) називається i-а координата ai кортежу w, позначається Pri(w) = ai.

Проекцією кортежу w=(a1,a2,...,an) на осі з номерами i1,i2,...,ik називається кортеж (ai1,ai2,...,aik), позначається Рri1,i2,...,ik(w) = (ai1,ai2,...,aik).

Нехай V - множина кортежів однакової довжини. Проекцією множини V на i-у вісь (позначається PriV ) називається множина проекцій на i-у вісь усіх кортежів множини V: PriV = { Pri(v) | vÎV }.

Аналогічно означається проекція множини V на декілька осей:

Pri1,i2,...,ikV = { Pri1,i2,...,ik(v) | vÎV }.

Приклад 1.10. Pri1,i2,...,ik( A1 ´ A1 ´...´ An ) = Ai1 ´ Ai2 ´... ´ Aik.

Якщо V={(a,b,c),(a,c,d),(a,b,d)}, то Pr1V={a}, Pr2V={b,c}, Pr2,3V={(b,c),(c,d), (b,d)}.

2. Відповідності, функції і відображення

Відповідністю між множинами A і B називається будь-яка підмножина CÍA´B.

Якщо (a,b)ÎC, то кажуть, що елемент b відповідає елементу a при відповідності C.

Оскільки відповідності є множинами, то для їхнього задання використовують ті самі методи, що й для довільних множин.Крім того, відповідність можна задавати (або ілюструвати) за допомогою так званого графіка відповідності. Нехай А={1,2,3,4,5} і B={a,b,c,d}, а C = {(1,a),(1,d),(2,с),(2,d),(3,b),(5,a),(5,b)} - відповідність між A і B. Позначимо через 1,2,3,4,5 вертикальні прямі, а через a,b,c,d - горизонтальні прямі на координатній площині (рис.1.2,а). Тоді виділені вузли на перетині цих прямих позначають елементи відповідності C і утворюють графік відповідності

Зручним методом задання невеликих скінченних відповідностей є діаграма або граф відповідності. В одній колонці розташовують точки, позначені елементами множини A, у колонці праворуч - точки, позначені елементами множини B. З точки a першої колонки проводимо стрілку в точку b другої колонки тоді і тільки тоді, коли пара (a,b) належить заданій відповідності. На рис.1.2,б зображено діаграму відповідності C із попереднього абзацу.

Відповідність можна задавати, визначаючи співвідношення, яким мають задовольняти її обидві координати. Наприклад, якщо розглянемо класичну координатну площину R2=R´R, то маємо такі відповідності C1={(x,y) | x2 + y2 = 1}, C2 = {(x,y) | y = x2 }, C3 = {(x,y)| |x|£1, |y|£1}. Графіком відповідності C1 є коло радіуса 1 з центром у початку координат, графіком C2 - квадратична парабола, а графіком C3 - всі точки квадрата з вершинами (-1,-1),(-1,1),(1,1) і (1,-1).

Припустимо, що CÍA´B деяка відповідність.

Множина Pr1C називається областю визначення, а множина Pr2C - областю значень відповідності C (інші позначення - dС і rС відповідно).

Якщо Pr1C=A, то відповідність C називається всюди або повністю визначеною. В противному разі відповідність називається частковою.

Образом елемента aÎPr1C при відповідності C називається множина всіх елементів bÎPr2C, які відповідають елементу a.

Прообразом елемента bÎPr2C при відповідності C називається множина всіх тих елементів aÎPr1C, яким відповідає елемент b.

Якщо AÍPr1C, то образом множини A при відповідності C називається об’єднання образів усіх елементів з A. Аналогічно означається прообраз деякої множини BÍPr2C.

Оскільки відповідності є множинами, то до довільних відповідностей можуть бути застосовані всі відомі теоретико-множинні операції: об’єднання, перетин, різниця тощо.

Додатково для відповідностей введемо дві специфічні операції.

Відповідністю, оберненою до заданої відповідності C між множинами A і B, називається відповідність D між множинами B і A така, що

D ={(b,a) | (a,b)ÎC}. Відповідність, обернену до відповідності C, позначають C-1.

Якщо задано відповідності CÍA´B і DÍB´F, то композицією відповідностей C і D (позначається C°D ) називається відповідність H між множинами A і F така, що H = { (a,b)| існує елемент cÎB такий, що (a,c)ÎC і (c,b)ÎD }.

Розглянемо окремі важливі випадки відповідностей.

Відповідність fÍA´B називається функціональною відповідністю або функцією з A в B, якщо кожному елементові aÎPr1f відповідає тільки один елемент з Pr2f, тобто образом кожного елемента aÎPr1f є єдиний елемент з Pr2f. Якщо f - функція з A в B, то кажуть, що функція має тип A ® B і позначають f:A®B або A B. Зокрема, всі функції, які вивчаються в елементарній математиці, є окремими випадками функціональних відповідностей з R2= R´R або функціями типу R ® R.

Всюди визначена функціональна відповідність fÍA´B називається відображенням A в B і записується як і функція f:A®B або A B. Відображення називають також всюди або повністю визначеними функціями.

Відображення типу A ® A називають перетвореннями множини A.

Через BA позначається множина всiх вiдображень з A в B.

Оскільки функція і відображення є окремими випадками відповідності, то для них мають місце всі наведені вище означення: поняття областей визначення та значень, поняття образу та прообразу елементів і множин та ін. Зокрема, для функції f елементи множини Pr1f називають аргументами функції, образ елемента aÎPr1f позначають через f(a) і називають значенням функції f на a. Прообраз елемента bÎPr2f позначають через f-1(b). Аналогічно позначаються образ і прообраз множини.

Нехай f:A®B функція з множини A в множину B, а g:B®C - функція з множини B в множину C. Суперпозицією (композицією) функцій f і g, яка позначається f°g, називається функція h:A®C така, що h(a) = g(f(a)) для aÎPr1fÍA і f(a)ÎPr1gÍB.

Відображення f називається сюр’єктивним (сюр’єкцією) або відображенням на множину B, якщо Pr2f = B.

Відображення f називається ін’єктивним (ін’єкцією) або різнозначним відображенням, якщо для кожного елемента bÎPr2f його прообраз f-1(b) складається тільки з одного елемента. Іншими словами, різним елементам множини A відповідають різні елементи множини B.

Нарешті, відображення, яке є одночасно сюр’єктивним і ін’єктивним, називається бієктивним відображенням або бієкцією.Бієктивні відображення називають часто також взаємно однозначними відображеннями або взаємно однозначними відповідностями між множинами A і B. Взаємно однозначні відображення відіграють велику роль в математиці, зокрема, в теорії множин.

Таким чином, вiдповiднiсть є взаємно однозначною, тоді і лише тоді, коли вона функцiональна, всюди визначена, сюр’єктивна та iн’єктивна.

Вiдповiднiсть iA = { (a,a) | aÎA } називається тотожним перетворенням, дiагональною вiдповiднiстю або дiагоналлю в A.

Наведемо приклади відповідностей, відображень та функцій.

Приклад 1.11. 1. Відповідність між клітинками і фігурами на шахівниці в будь-який момент гри є функціональною, але не є відображенням, оскільки не всі поля шахівниці зайняті фігурами.

2. Відповідність між натуральними числами і сумами цифр їх десяткового запису є відображенням. Це відображення не є ін’єктивним, оскільки йому належать такі, наприклад, пари, як (17, 8) і (26,8).

3. Відповідність, за якою кожному натуральному числу nÎN відповідає число 3n, очевидно, є взаємно однозначною відповідністю між множиною всіх натуральних чисел і множиною натуральних чисел кратних 3.

4. Відповідність між множиною точок координатної площини R2 і множиною всіх векторів із початком у точці (0,0) є взаємно однозначною.
Категорія: Математика | Додав: КрАсАв4іК (22.01.2013)
Переглядів: 207 | Рейтинг: 0.0/0
Всього коментарів: 0
Додавати коментарі можуть лише зареєстровані користувачі.
[ Реєстрація | Вхід ]