| Головна » Статті » Математика | [ Додати статтю ] |
Безкінченно малі функції
|
Визначення 1. Функція f(x) називається безкінченно малою функцією (або просто безкінченно малою) в точці х=х0 (або при хх0), якщо f(x)=0. Аналогічно визначаються безкінечно малі функції при Так як межа нескінченно малої функції рівна нулю , то можна дати рівносильне визначення нескнченно малої функції. Функція f(x) називається нескінченно малою в точці х=х0, якщо для любого існує , таке, що для всіх , задовільняющих нерівності , виконується нерівність і на язику послідовності: функція називається безкінечно малою в точці х=х0, якщо для любої зводящоїсі до х0 послідовність являється нескінченно малою. Теорема. Для виконання рівняння f(x)=A необхідно і достатньо, щоб функція була хх0 нескінченно малою при хх0 Бескінченно малі функції володіють такими ж свойствами, що і бескінечно малі послідовності. Теорема. Алгебраїчна сума і проізвідєніє кінцевого числа нескінченно малих функцій при хх0 , а також проізвідєніє безкінечно малої функції на обмежену функцію являються нескінченно малими функціями при хх0. Нескінченно великі функції Визначення. Функція f(x)називається безкінченно великою функцією в точці х=х0 (або при хх0), якщо для любого існує таке, що для всіх задовольняючих нерівність , виконується нерівність . В цьому випадку пишуть f(x)= і говорять, що функція стремиться до нескінченності при хх0 або, що вона має нескінченну межу в точці х=х0. Якщо виконується нерівність, то пишуть f(x) і говорять, що функція має в точці х0 нескінченну межу, рівну. Так наприклад, пишуть f(x), якщо для любого існує , таке, що для всіх, задовольняючих нерівностями, виконується нерівність. “На язику послідовності” це визначення записується так: , якщо для любої зводящої ? до х0 послідовності значення аргументу х, елементи хn який більше x0, відповідають послідовності значення функцій являється нескінченно великий позитивного знака. Аналогічно визначаються нескінченно великі функції при . Так, наприклад: функція f(x)називається нескінченно великою при, якщо для любого існує таке, що для всіх задовольняючих нерівність, виконується нерівність. При цьому пишуть f(x). Якщо виконується нерівність , то пишуть f(x)= ( ). На завершення покажем, що між нескінченно малими і нескінченно великими функціями існує такий же зв'язок, як і між відповідними послідовностями, функціями, зворотньо безкінечно малої, являється безкінченно вищою і наоборот. Насправді, нехай f(x)=0 і f(x) 0 при . Докажем, що. Задамо довільне. Так як f(х) – нескінченно мала функція в точці х0, то для числа 1/ існує таке, що для всіх, задовільняющих нерівностям , виконується нерівність . Но тоді для тих же х виконується нерівність, т.с. - нескінченно велика функція в точці х=х0, що і потрібно було доказати. | |
| Переглядів: 462 | |
| Всього коментарів: 0 | |