| Головна » Статті » Математика | [ Додати статтю ] |
Знаходження екстремуму функції від багатьох змінних
|
Означення. Точка називається точкою максимуму (мінімуму) функції , якщо існує окіл точки такий, що для всіх точок цього околу виконується нерівність (відповідно ). За аналогією із функцією від однієї змінної, для функції від двох змінних маємо такі необхідні умови екстремуму: Як і раніше, ці умови не обов’язково є достатніми. Отже, відшукання екстремумів функції від багатьох змінних полягає в тому, що потрібно побудувати систему рівнянь розв’язати її, знайшовши критичні (стаціонарні) точки, які надалі треба перевірити на наявність максимуму чи мінімуму. Означення. Вектор називається градієнтом функції . Очевидно, що градієнт задає напрям найшвидшого зростання функції. Очевидно також, що необхідну умову екстремуму можна записати так. Розглянемо достатні умови екстремуму для випадку функції від багатьох змінних. Теорема (без доведення). Нехай функція визначена в деякому околі точки і fx(x0,y0)= fy(x0,y0)=0. Нехай A= fxx(x0,y0), B fxy(x0,y0) та C = fyy(x0,y0) неперервні. Тоді при AC-B2 > 0 у точці (x0,y0) функція має екстремум (при A0 – мінімум ). При AC-B20. Функція z = z(x,y) має мінімум у точці (1,1) . Розглянемо, накінець, достатні умови існування екстремуму функції від n (n>2) змінних y=f(x1…xn). Знаходимо всі можливі другі частинні похідні і будуємо матрицю (матрицю Гессе). . Означення. Матриця H=H(x1…xn) називається додатно визначеною в точці ( ) , якщо визначники M1>0, M2>0,…, Mn>0, де Означення. Матриця H=H(x1…xn) називається від’ємно визначеною, якщо M1>0, M20,…,(-1)nMn>0. У темі 1 сформульовано теорему про те, що матриця є додатно визначеною тоді і тільки тоді, коли всі її власні числа є додатними. Правильно й таке: матриця є від’ємно визначеною тоді і тільки тоді, коли всі її власні числа є від’ємними. Теорема . Нехай функція z = f(x1…xn) визначена в околі точки ( ) і . Тоді в разі додатної визначеності матриці Гессе (A>0, AC-B2>0, …) в точці ( ) функція z = f(x1…xn) має мінімум, а в разі від’ємної (A0, …) – максимум. Зазначимо, що задача відшукання найбільшого і найменшого значення функції від багатьох змінних у деякій замкнутій області відрізняється від задачі знаходження екстремумів. Спеціальні методи вивчають в курсі “Математичне програмування”. | |
| Переглядів: 480 | |
| Всього коментарів: 0 | |