Головна » Статті » Математика [ Додати статтю ]

Умовні ймовірності, незалежні випадкові події
Умовна ймовірність. Нехай ( , Р ) ймовірнісний простір.  простір елементарних подій,   -алгебра підмножин  (-алгебра випадкових подій), Р()  ймовірність, яка визначена -алгебрі підмножин , Р(В) > 0, В . Умовною ймовірністю події А (А ) при умові, що відбулася подія В , називається величина .

Формула множення ймовірностей.Якщо Р(В) > 0, то

Р(А В) = Р(В) Р(А В).

Незалежні випадкові події. Випадкові події А та В (А  , В  ) називаються незалежними, якщо

Р(А В) = Р(В) Р(А).

Незалежні в сукупності випадкові події. Випадкові події А1 , А2 , …, Аn (Аi, i = 1, 2, …, n) називається незалежними в сукупності, якщо

при будь-яких k=1, 2, …, n та і1 і2 … іk n. Якщо ці рівності виконуються при к=2, то події А1, А2,.., Аn називаються попарно незалежні.

Задача 1. В урні 2 білі і 3 чорні кулі. З урни підряд виймають дві кулі. Знайти ймовірність того, що обидві кулі білі.

Розв’язування. Позначемо: А- поява двох білих куль.

Подія А є добутком двох подій А= А1 А2 ,

де А1 –поява білої кулі при першому вийманні,

А2- поява білої кулі при другому вийманні.

По теоремі множення ймовірностей

Р ( А)= Р(А1) Р(А2/ А1)= 0,1.

Задача 2. В урні 2 білі і 3 чорні кулі. З урни виймають дві кулі, але після першого виймання куля повертається в урну, і кулі в урні перемішуються, після чого виймається друга куля. Знайти ймовірність того, що обидві кулі білі.

Розв’язування. В даному випадку події А1 та А2 незалежні і

Р(А)= Р (А1) Р ( А2 )= =0,16.

Задача 3. Серед усіх родин з двома дітьми обрано одну. Описати простір елементарних подій і випадкові події: А= { в родині є хлопчик і дівчинка },

В={ в родині не більше однієї дівчинки}. Всі елементарні події однаково ймовірні. Обчислити Р(А), Р( В), Р(А  В ) і довести, що події А та В незалежні.

Задача 4. Пристрій, який працює на прорязі часу t , складається з трьох вузлів,

кожен з яких , незалежно один від одного, може на протязі часу t відмовити

( вийти зі строю). Відмова хоча б одного вузла приводить до відмови прибору в цілому. За час t надійність ( ймовірність безвідмовної роботи ) першого вузла

дорівнює р1=О,8; другого р2=О,9; третього р3=О,7; Знайти надійність прибора в цілому.

Розв’язування. Позначемо:

А- безвідмовна робота прибора,

А1- безвідмовна робота першого вузла,

А2- безвідмовна робота другого вузла,

А3 - безвідмовна робота третьго вузла,

маємо: А= А1 А2 А3 ,

звідки по теоремі для незалежних подій

Р(А)=Р(А1)Р(А2)Р(А3)=р1р2 р3= 0,504.

Задача5. Скільки треба взяти гральних кубиків, щоб з ймовірністю, меньшій

чим 0,3, можна було чекати, що ні на жодній грані яка випаде не з’явиться шість очок?

Розв’язування. Нехай А подія- ні на жодній грані яка випаде не з’явиться шість очок; події Аі – на і-тій грані кубика, яка випала не з’явиться шість очок (і=1,2,…, n ). Тоді Р(Аі)= . Події Аі (і=1,2,…, n ) незалежні в сукупності , тому застосовується теорема множення.

Р (А )=Р(А1 А2 … Аn ) =P(А1) P(А2)… P(An)= ( )n.

При умові, ( )n 0,3. Таким чином, n log ( ) log 0,3. Звідки n 6, 6. Таким чином, шукане число підкидань грального кубика n 7.

Задача 6 ( приклад Берштейна). На площину кидають тетраедр, три грані якого окрашені відповідно в червоний, зелений, блакитний кольори, а на четверту грань нанесені всі три кольори. Нехай подія Ч полягає в тому, що при підкиданні тетраедра на площину випала грань окрашена червоним кольором і нехай аналогічно визначені події З та Б. Оскільки кожний з трьох кольорів нанесений на дві грані, то

Р( Ч)= Р (З)=Р( Б) .

Далі Р(ЧЗ)=Р(ЧБ)=Р(ЗБ)= ,

і , таким чином , події Ч, З, Б попарно незалежні. Але ці події не є незалежні в сукупності, тому що Р(ЧЗБ)= ≠ Р(Ч)Р(З) Р(Б) .

Задача 7. Підкидають два гральних кубика. Розглянемо випадкові події:

A 1- на першому кубику випало парне число очок;

A 2- на другому кубику випало непарне число очок ;

A 3- сума очок на кубиках непарна. Довести, що події A 1, A 2, A 3 попарно незалежні, але не є незалежними в сукупності.

Задача 8. Довести, що якщоА та В незалежні, то й В , А й , й - теж

незалежні ( спадкова властивість незалежності ).

Задача 9 Події А та В1 й А та В2 – незалежні, причому В1 та В2 несумісні. Довести, що події А та В1 В2 –незалежні.

Задача 10. З множини всіх родин, які мають двох дітей обрано одну родину. Всі елементарні події одинаково ймовірні. Яка ймовірність того що: a) в цій родині два хлопчики, якщо відомо, що в ній є один хлопчик? б) в родині два хлопчики, якщо відомо, що старша дитина хлопчик ?

Задача 11. Відомо, що 5% чоловіків і 0,25% всіх жінок- дальтоники. Навмання

обрана особа- дальтоник. Яка ймовірність того, що це чоловік ? ( Вважати, щочоловіків і жінок одинакова кількість) ( Вказівка. Розглянути випадкові події:

A-обрана особа є чоловік; В-Обрана особа є жінкою; С-обрана особа дальтоник . Відповідь р= ).

Задача12. В цеху працюють сім чоловіків та три жінки. По табельним номерам

навмання відібрані три чоловіка. Знайти ймовірність того, що всі відібрані особи виявляться чоловіками.

Розв’язування. Нехай подія А-першим відібраний чоловік; B- другим відібраний

чоловік; С - третім відібраний чоловік. Р (А)= ; Р (В/А)= = - ймовірність

того, що другим був відібраним чоловік, при умові, що першим вже був відібраний чоловік ; Р ( С/ A B)= - ймовірність того, що третім був відібраним чоловік, при умові, що вже відібрані два чоловіка.

Шукана ймовірність того, що всі три вибрані особи будуть чоловіками,

Р(А В С)= P(A) Р(B/A) P(C/A B)= .

Задача 13. Довести, що

Р(А1 А2 … Аn )=P (А1) P(Ak+1 / A1 … Ak).

( Вказівка. Скористатися методом математичної індукції).

Задача 14.Події А1, А2, …,Аn незалежні в сукупності і Р(Ак)=рк. Яка ймовірнсть того, що відбудеться принаймі одна з подій А1,А2 ,…,Аn.

Задача 15. При одному циклі огляду раділокаційної станції, що стежить за космічним об’єктом , об’єкт буде виявлено з ймовірністю р. Виявлення об’єкта

в кожному циклі відбудеться незалежно від інших. Проведено n циклів огляду. Яка ймовірність того, що об’єкт буде виявлено?

Відповідь. р=1-(1-р)n.
Категорія: Математика | Додав: КрАсАв4іК (22.01.2013)
Переглядів: 486 | Рейтинг: 0.0/0
Всього коментарів: 0
Додавати коментарі можуть лише зареєстровані користувачі.
[ Реєстрація | Вхід ]