Головна » Статті » Математика [ Додати статтю ]

Розкладність графів. Врівноважені розбиття скінченних графів
Розглянемо скінченний зв'язний граф Gr = (V,E) з множиною вершин V і множиною ребер E. Для довільних двох вершин x,yV позначимо через d(x,y) довжину найкоротшого шляху від x до y. Для довільних вершини xV, підмножини AV і невід'ємного цілого числа m покладемо

Індексом непорожньої підмножини AV називається найменше невід'ємне ціле число m, таке що V=B(A,m). Індекс підмножини A позначимо через ind A.

Відстань dist(A,B) між непорожніми підмножинами А, В множини вершин V визначимо за формулою

Зауважимо, що ind A=dist(A,V) для будь-якої непорожньої підмножини AV.

Індексом розбиття множини вершин V на непорожні підмножини називається максимальний індекс підмножин розбиття.

Розбиття скінченної множини X, |X|=n на r підмножин (1 r n, n=rs+t, 0 t r) називається врівноваженим, якщо існує така нумерація X1, X2, …, Xr підмножин розбиття, для якої

|X1|=|X2|= …= |Xt| = s+1, |Xt+1| = |Xt+2| =…= |Xr| = s

Зокрема, якщо r - дільник числа n, то врівноважене розбиття X - це розбиття X на r частин, що мають однакову кількість елементів.

Переформулюємо деякі з цих означень в хроматичній термінології. Розфарбування множини X r кольорами - це довільне відображення "на": X{1,2,,r}. Кожне таке розфарбування визначає розбиття -1(1) -1(2) -1® множини X на непорожні підмножини. З іншого боку, кожне розбиття X=X1X2Xr множини X на непорожні підмножини породжується розфарбуванням , що визначається за правилом: (x)=k тоді і тільки тоді, коли xXk. Розфарбування : X{1,2,,r} назвемо врівноваженим, якщо відповідне розбиття X= -1(1)-1(2)-1® є врівноваженим.

Розбиття множини V вершин графа Gr = (V,E) на r підмножин має індекс m тоді і тільки тоді, коли при разфарбуванні : V{1,2,,r}, що відповідає цьому розбиттю, кожна куля B(x,m), xV містить точки усіх r кольорів. Індексом розфарбування називається індекс відповідного розбиття.

Теорема 1. Для будь-яких натуральних чисел r, n, r n і довільного зв'язного графа Gr = (V,E), |V|=n існує розбиття індексу r-1 множини вершин V на r підмножин.

Доведення. Індукцією по числу n покажемо, що існує розфарбування : V{1,2,r}, таке що

для будь-яких xV, k{0,1,…,r-1}. Теорема випливає з цього твердження при k=r-1.

Ми можемо замінити граф його кістяком і вважати, що Gr = (V,E) є деревом. Для n=1 твердження очевидне. Якщо r=n, то можна вибрати довільне розфарбування: V{1,2,r}. Припустимо, що r1 і зафіксуємо будь-яку кінцеву вершину y дерева Gr = (V,E). Тоді B(y,1)={y,z}, де z - єдина суміжна з y вершина дерева Gr = (V,E). Розглянемо граф Gr1(V1,E1), де V1=V \ {y}, E1=E \ {(y,z)}. Позначимо через B1(x,k) кулю радіуса k в графі Gr1(V1,E1) з центром в точці xV1. Оскільки граф Gr1(V1,E1) зв'язний і |V1|=n-1, то за припущенням індукції існує розфарбування 1: V1{1,2,r}, таке що

для всіх xV1, k{0,1,…,r-1}. Зауважимо, що і виберемо максимальне число m{0,1,…,r-2} для якого . Далі виберемо довільне число s{0,1,…,r}, таке що . Покладемо (y)=s і (x)=1(x) для всіх xV1. Оскільки B(z,k)B(y,k+1), то для всіх k{0,1,…,r-1}.

Приклад 1. Розглянемо граф Grn(Vn,En), n 2, де Vn={x1, x2, …, xn}, En={(x1, x2), (x1, x3),…, (x1, xn)}. Існує лише два 2-розфарбування 1 , 2 множини Vn, що мають індекс 1, а саме

1(x1)=1, 1(x2)=1(x3)=…=1(xn)=2;

2(x1)=2, 2(x2)=2(x3)=…=2(xn)=1.

Якщо n>3, то ці розфарбування неврівноважені. Отже, для n>3 і r=2 не існує врівноважених розфарбувань індексу r-1 множини n.

У зв'язку з цим прикладом виникає питання про можливий аналог теореми 1.1 для врівноважених розбиттів.

Теорема 2. Для будь-яких натуральних чисел r, n, r n і довільного зв'язного графа Gr(V,E), |V|=n існує врівноважене розбиття індексу r множини вершин V на r підмножин.

Для доведення цієї теореми необхідні деякі означення і технічні результати.

Скінченне дерево Gr(V,E), |V|>2 називається зіркою з центром xV, якщо x не є кінцевою вершиною дерева і будь-які два найкоротших шляхи від x до різних кінцевих вершин не мають спільних ребер. Кожен такий шлях x=x0, x1,…,xk визначає промінь зірки з множиною вершин {x0, x1,…,xk} і множиною ребер {(x0, x1), (x1, x2),…, (xk-1, xk)}. Число k називається довжиною променя, а x0 і x1 - його початком і кінцем. Таким чином, кожна зірка є об'єднанням променів, що виходять з центра. Радіусом зірки називається максимальна довжина її променів.

Лема 1. Нехай - r натуральне число, r>2, Gr(V,E) - зірка з центром x і трьома променями R1, R2, R3 радіусів r1, r2, r3, причому i{1, 2, 3}. Тоді існує врівноважене r-розфарбування індексу r множини вершин V, таке що на відстані від центра розташовані вершини усіх r кольорів.

Доведення. Припустимо для визначеності, що r1 r2 r3. Запишемо вершини променів R1, R2, R3 у порядку їх розташування від початку променя до його кінця

Якщо r=2, то r1=r2=r3=1 і будь-яке врівноважене 2-розфарбування має індекс 2.

Припустимо, що r>2, r=3r'+j, 0 jі пофарбуємо їх кольорами {1,2,..r} зліва направо. Оскільки r'+1 , то на відстані від центра x вже знаходяться вершини всіх r кольорів. Для того щоб продовжити це часткове розфарбування на всю множину вершин V розглянемо два випадки.

Випадок . Непофарбовані вершини зірки запишемо у такому порядку

і пофарбуємо їх періодично зліва направо, починаючи з кольору a+b+1. Точніше, колір i-го члена v цієї послідовності визначається за формулою

Врівноваженість розфарбування очевидна. Візьмемо довільну вершину vV. Якщо v - вершина графа R1R2, то за означенням на відстані r-1 від v розташовані вершини графа R1R2 усіх r кольорів. Якщо ж v - вершина променя R3, то d(v,x) , а на відстані від x знайдуться точки усіх r кольорів. Це і означає, що індекс розфарбування не перевищує r.

Випадок . Продовжимо розфарбування  на множину

xa, xa+1 , …, xa+b-1, yb+1, yb+2,…, yb+c, zc+1, zc+2,…, zc+a

за таким правилом

Таким чином, розфарбовано 2r вершин зірки, причому кожен з r кольорів використано двічі. Зауважимо також, що кулі містять відповідно

a+b+r-r1, b+c+r-r2+1, a+c+r-r3

розфарбованих різнокольорових вершин. Завершимо розфарбування за таким правилом

Оскільки на останньому етапі розфарбування кожен колір використано не більше одного разу, то розфарбування врівноважене. Оскільки на відстані r від кожного кінця променів R1, R2, R3 розташовані вершини усіх r кольорів, то індекс розфарбування  не перевищує r.

Лема 2. Нехай r - натуральне число 2, Gr(V,E) - зірка з центром x радіуса r-1, що містить принаймні два променя довжини r/2. Тоді існує врівноважене r-розфарбування індексу r множини V.

Доведення. Нехай R1, R2,…, Rt - промені довжини r/2, Rt+1, Rt+2,…, Rs - промені довжини < r/2,

Запропонуємо два способи розфарбування множини V в залежності від парності числа t.

Якщо число t парне, занумеруємо вершини дерева R1R2 послідовними натуральними числами у порядку їх розташування від кінця променя R1 до кінця променя R2. Продовжимо нумерацію таким же способом на вершини дерева R3R4, пропускаючи вже занумерований центр x і т. д. Отже, початковим відрізком натурального ряду вже занумеровано вершини дерева R1R2Rt. Продовжимо цю нумерацію довільним числом на решту вершин зірки Gr(V,E) і одержимо деяке упорядкування x1,x2,…,xn множини V. Пофарбуємо вершини x1,x2,…,xn кольорами {1,2,…,r} зліва направо за правилом
Категорія: Математика | Додав: КрАсАв4іК (22.01.2013)
Переглядів: 216 | Рейтинг: 0.0/0
Всього коментарів: 0
Додавати коментарі можуть лише зареєстровані користувачі.
[ Реєстрація | Вхід ]