Головна » Статті » Математика [ Додати статтю ]

Про графічний спосіб вирішення задач
Нова програма по математиці орієнтує вчителя на необхідність формування в учнів умінь вирішувати задачу різними способами. Учитель прагне до того, щоб учні усвідомлювали можливість різних способів рішення деяких задач і свідомо вибирали найбільш раціональний з відомих їм способів.

Для відшукання різних способів рішення задачі необхідно розкрити залежності між величинами і знайти різні шляхи вираження цих залежностей.

Показати роль графічної моделі як важливого засобу виявлення всіляких схованих залежностей між величинами задачі, розв'язуваної різними способами.

Перш ніж графічна модель почне виконувати ту функцію, про яку говорилося вище, необхідно навчити дітей будувати графічну модель задачі, вирішувати відповідні задачі одним способом. Робота з рішення задач різними способами в I класі починалася з більш легень. Так, уже при рішенні складених задач, що включають прості задачі на збільшення і зменшення числа на кілька одиниць, використовували графічну модель.

Приведемо графічні моделі і різні способи рішення деяких задач цього виду.

1. Першокласники принесли на заморозок кулі (рис. 1). Червоних куль було 20, блакитних на 6 більше, ніж червоних, а жовтих на 4 більше, ніж блакитних. Скільки жовтих куль принесли першокласники?

I спосіб

(20+6)+4=30 (куля.)

Відповідь: 30 куль.

Більш глибокий аналіз задачі, якому в значній мірі сприяє графічна модель, дозволяє вирішити задачу ще одним способом.

II спосіб

20+(6+4) =30 (куля.)

Відповідь: 30 куль.

2. У словнику Оля записала 30 слів. Іра на 5 слів менше, ніж Оля, а Володя на 3 слова менше, ніж Іра. Скільки слів записав Володя?

I спосіб

(30—5)—3=22 (сл.)

Відповідь: 22 слова.

II спосіб

30—(5+3) =22 (сл.)

Відповідь: 22 слова.

В II класі продовжувалася робота з рішення задач цього ж виду різними способами, однак задачі бралися більш складні і вимагали для рішення глибокого аналізу залежностей.

Приведемо приклад.

1. На уборку картоплі приїхали робітники в трьох автобусах: у першому 35 чоловік, у другому на 5 чоловік менше, ніж у першому, а в третьому на 8 чоловік більше, ніж у другому. Скільки робітників приїхало в третьому автобусі?

I спосіб

(35 — 5) + 8 = 38 (чіл.)

Відповідь: 38 чоловік.

Другий спосіб рішення задачі заснований на заглибленому аналізі залежностей за допомогою графічної моделі:

35+(8—5) =38 (чіл.)

Відповідь: 38 чоловік.

Щоб прищепити учням інтерес до рішення задач нешаблонним способом, пропонували задачі з таким формулюванням питання, що допускала вибір більш ощадливого способу рішення і переконувала в тім, що графічна модель служить резервом по відшуканню раціонального способу рішення задачі.

Для приклада продовжимо розгляд складених задач зазначеного вище виду.

2. На нижній полиці коштує 25 книг, на середній на 2 книги більше, ніж на нижньої, а на верхній на 9 книг більше, ніж на середній. На скількох більше книг на верхній полиці, чим на нижньої?

(25 + 2) +9 — 25 = 11 (кн.)

Відповідь: на верхній полиці більше, ніж на нижньої, на 11 книг.

Можна вирішити задачу іншим способом: 9+2=11 (кн.). Він заснований на виявленні схованих залежностей між величинами задачі. Неважко переконатися, що виявленню схованих залежностей у значній мірі сприяє графічна модель задачі.

Вище розглянули рішення різними способами складених задач, що включають прості задачі на збільшення і зменшення числа на кілька одиниць.

Визначений інтерес представляє рішення різними способами складених задач, що включають прості задачі на збільшення і зменшення числа в кілька разів.

Приведемо кілька прикладів.

1. В один магазин привезли 35 дитячих велосипедів, в іншій у 3 рази більше, ніж у перший, а в третій у 2 рази більше, ніж у другий. Скільки велосипедів привезли в третій магазин?

І спосіб

(35 3) 2 = 210 (вел.)

Відповідь: 210 велосипедів.

На основі графічного аналізу задачі одержуємо, що, для того щоб вирішити задачу іншим способом, спочатку треба довідатися, у скількох разів більше велосипедів привезли в третій магазин, чим у перший (3  2), Подальше рішення стає ясним: 35 (3  2) = 210 (вел.)

2. Я бачив у зоопарку крокодилів, ведмедів і мавп. Крокодилів було 17, ведмедів у 3 рази більше, ніж крокодилів, і в 2 рази менше, ніж мавп. Що можна довідатися, використовуючи ці дані?

Сформулюємо деякі з можливих питань і приведемо відповідні рішення:

а) Скільки мавп було в зоопарку?

I спосіб

(17  3)  2 = 102 (про.)

Відповідь: 102 мавпи.

II спосіб

17 (3  2) = 102 (мав.)

Відповідь: 102 мавпи.

б) Скільки усього звірів було в зоопарку?

I спосіб

1) 17  3 = 51 (м.)

2) 51 • 2 = 102 (мав.)

3) 17 + 51 + 102 = 170 (зв.)

II спосіб

Провівши графічний аналіз умови, учні з'ясовують, що загальне число рівних відрізків, зображених на малюнку 7, буде 1 + 3 + 6 = 10. Тому що кожний з рівних відрізків зображує число 17, те маємо: 17- 10 = 170 (зв.).в) На скількох більше мавп у зоопарку, чим ведмедів?

1) 17  3 = 51 (мед.)

2) 51  2 = 102 (мав.)

3) 102—51 = 51 (зв.)

Відповісти на всі можливі питання до умови однієї і тієї ж задачі на одному уроці не представляється можливим. Роботу розподіляли на кілька уроків, причому деяка частина її пропонувалася для самостійної домашньої роботи.

При рішенні задач різними способами враховували, коли доцільно розглянути рішення тим чи іншим способом, на якій стадії рішення тієї чи іншої задачі має сенс познайомити учнів з іншим способом рішення. Візьмемо для приклада складену задачу, що включає в себе дві прості: одну на збільшення (зменшення) числа на кілька одиниць, іншу на перебування суми. З рішенням таких задач учні зустрічаються як у I, так і в II і III класах.

Розглянемо, яким способом вирішували задачі цього виду в I і II класах.

Задача. На будівництві вдома працювали 24 муляра, а малярів на 4 чоловік менше, ніж мулярів. Скільки усього мулярів і малярів працювало на будівництві будинку?

Рішення:

24 + (24 — 4) = 44 (чол.)

Відповідь: 44 чоловік.

У III класі після вивчення закону зміни суми зі зміною одного з доданків розглянуту задачу бажано вирішити й іншим способом.

Зразкове міркування при рішенні задачі другим способом: «Збільшимо число малярів на 4 чоловік, тоді загальне число людей, що працюють на будівництві будинку, буде: 24+24 (чол.). Ця сума більше шуканої суми на 4, тому що ми збільшили другий доданок на 4. Виходить, шукана сума повинна бути не 24 + 24, а на 4 менше (24 + 24)—4».

Приведемо ще кілька задач, що зважувалися різними способами.

1. На одному полку 5 книг, а на іншій у 2 рази більше. Скільки книг на двох полках?

I спосіб

5 + 5 2 = 15 (кн.)

Відповідь: 15 книг.

Міркування при рішенні задачі другим способом: «На другій полиці книг у 2 рази більше, ніж на першій. Виходить, на ній два рази по 5 книг, а на двох полках 3 рази по 5 книг: 5  3 = 15 (кн.)».

2. На складі було 706 мішків борошна. Потім привезли ще 138 мішків, а 604 мішка відправили в пекарню. Скільки мішків борошна залишилося на складі?

Правильно побудована графічна модель дозволяє до рішення задачі прикинути, у яких границях буде знаходитися відповідь (на складі залишиться більше чим 200 мішків борошна, але менше ніж 250).

Тепер розглянемо можливі способи рішення задачі.

I спосіб

(706 + 138) — 604 = 240 (міш.)

Відповідь: залишилося 240 мішків борошна.

На основі графічного аналізу задачі одержуємо й інший спосіб рішення задачі: 706—(604—138) = = 706 — 466 = 240 (міш.)

Відповідь: залишилося 240 мішків борошна.

Незмінно зростає роль графічної моделі як важливого резерву по виявленню всіляких схованих залежностей при рішенні задач, у яких перебування кількісних залежностей коштує в прямого зв'язку з аналізом просторового співвідношення геометричних образів. У практиці навчання велика увага приділялася рішенню таких задач різними способами і виявленню найбільш раціонального.

Приведемо кілька прикладів.

1. На змаганнях один хлопчик пробіг 320 м, іншої на 130 м більше першого, а третій на 180 м менше того, що пробігли перший і другий разом. Скільки метрів пробіг третій хлопчик?

Це, по суті справи, геометрична задача, як і попередня, хоча за формою являє собою арифметичну.

I спосіб

1) 320 + 130 = 450 (м)

2) 450 + 320 = 770 (м)

3) 770 — 180 = 590 (м)

Відповідь: 590 м.

II спосіб

1) 320 + 130 = 450 (л)

2) 450 — 180 = 270 (м)

3) 320 + 270 = 590 (м)

Відповідь: 590 м.

III спосіб

1) 180 — 130 = 50 (м)

2) 320 — 50 = 270 (м)

3) 320 + 270 = 590 (м)

Відповідь: 590 м.

IV спосіб

1) 320 + 320 = 640 (м)

2) 180 — 30 = 50 (м)

3) 640 — 50 = 590 (м)

Відповідь: 590 м.

Четвертий спосіб рішення є різновидом третього.

Щоб прищепити дітям інтерес до рішення задач нешаблонним способом, корисно використовувати прийом варіювання питання задачі. Сформулюємо питання до розглянутого вище задачі так: «На скількох метрів більше пробіг третій хлопчик, чим другий?»

І спосіб

1) 320 + 130 = 450 (м)

2) 450 + 320 = 770 (м)

3) 770 — 180 = 590 (м)

4) 590 — 450 = 140 (м)

Відповідь: 140 м.

На основі виявлення схованих залежностей за допомогою графічної моделі приходимо до більш раціонального способу рішення: 320 — 180 = 140 (м). Вирішуючи задачу другим способом, замість чотирьох дій виконуємо тільки одне.

Ми розглянули різні способи рішення задач, у яких перебування кількісних залежностей стояло в прямого зв'язку з аналізом просторового співвідношення відрізків. Не меншу цінність представляє і рішення різними способами задач, у яких перебування кількісних залежностей зв'язано з аналізом просторового співвідношення не тільки відрізків, але й інших геометричних фігур, зокрема прямокутників і квадратів.

Наприклад:

1. Обчислити площу прямокутника АСЕК, за даними, нанесеним на креслення.

I спосіб

1) 12 — 5 = 7 (см)

2) 7 • 3 = 21 (кв. см)

Відповідь: 21 кв. см.II спосіб

1) 12 • 3 = 36 (кв. см)

2) 5 • 3 = 15 (кв. см)

3) 36—15=21 (кв. см)

Відповідь: 21 кв. см.

2. Знайти площа прямокутника BCFK (рис. 5) по наступним даним:

Рис. 5

площа AMND=48 кв. см

площа ACFD=29 кв. см

площа BMNR—25 кв. см

I спосіб

1) 48 — 29 = 19 (кв. см) — площа CMNF

2) 25 — 19 = 6 (кв. см )— площа BCFK.

II спосіб

1) 48 — 25 = 23 (кв. см) — площа ABKD

2) 29 — 23 = 6 (кв. см) — площа BCFK

III спосіб

1) 29 + 25 = 54 (кв. см) — сума площ ACFD і BMNK

2) 54 — 48 = 6 (кв. см) — площа BCFK

Задачі, розв'язувані декількома способами, розглядалися як на класних, так і на позакласних заняттях. На класних заняттях такі задачі включали в будь-яку частину уроку.

Графічне рішення задач

ІІ клас

Вирішити задачу — значить визначити значення невідомої величини, що задовольняє даній умові. Розрізняють два способи рішення задач — обчислювальний і графічний. У результаті застосування обчислювального методу шукані значення величин виходять у виді чисел. У результаті ж застосування графічного методу шукані значення величин виходять у виді геометричних образів: відрізків прямої, прямокутників, квадратів і т.д.

У методичній літературі розмежовують дві основні функції, що може виконувати креслення при рішенні арифметичних задач: застосування креслень як зорового матеріалу для полегшення логічних міркувань, проведених при рішенні задач звичайними методами; застосування креслень як особливого методу рішення.

Однак дотепер питання про графічний метод рішення арифметичних задач не знайшов належного застосування в шкільній практиці.

У дійсній статті ми намагаємося розглянути другу функцію креслення, функцію креслення як особливого методу рішення задач, показати можливості рішення задач графічним способом у II класі і розкрити практичне значення графічного способу рішення задач. Якщо основна цінність першої функції креслення полягає в тому, що графічний запис умови задач є одним з ефективних методичних прийомів вироблення наочного представлення про математичну структуру задачі, те графічний метод рішення задачі — важливий засіб, за допомогою якого учні можуть не тільки уявити собі наочна умова задачі, але і її рішення.

Графічний метод дає можливість більш тісно встановити зв'язок між арифметичним і геометричним матеріалами, розвити функціональне мислення дітей.

Варто помітити, що завдяки застосуванню графічного методу в початковій школі можна скоротити терміни, протягом яких учень навчиться вирішувати різні практичні задачі. У той же час уміння графічно вирішувати задачу — це важливе політехнічне уміння — ще не виховується в учнів.

Основою для графічного рішення арифметичних задач є те, що «на безлічі відрізків прямої, як і на безлічі прямокутників з рівними підставами, визначені операції додавання і множення на ненегативне число, тобто операції, подібні з арифметичними діями додавання і множення ненегативних чисел».

До графічного рішення задач учні приходять не відразу. У I класі діти учаться графічно за допомогою прямокутних смужок і відрізків зображувати числа, їхню суму і різницю, умову задачі.

Деякі з таких вправ описані в ряді статей, опублікованих у журналі «Початкова школа». Множення, досліджуване в II класі, є власне кажучи окремий випадок суми декількох що складаються, тільки доданки в цьому випадку однакові. Зміст множення тому близько підходить до змісту додавання. При підготовці до вивчення множення учням для виконання пропонувалися вправи, де поряд з перебуванням суми неоднакових доданків давалися і завдання на перебування суми рівних доданків.

Указувалося, що при додаванні рівних чисел смужки, що зображують геометричні образи доданків, зручніше зображувати не в один ряд, а стовпчиком.

Так, поряд з такою формою зображення пропонувалася й інша. З'ясовувалося, що множене вказує на число кліток у горизонтальному ряді, а множник — число таких рядів.

Придбані в такий спосіб уміння використовувалися при рішенні перших задач на множення — задач на розкриття конкретного змісту множення. Розглядалася, наприклад, задача: «Хлопчик обвів 3 ряди кліток, по 4 клітки в кожнім ряді. Скільки усього кліток обвів хлопчик?» Аналізуючи умову задачі, учні одержували таке креслення.

Для розкриття конкретного змісту розподіли розглядалися, наприклад, такі задачі:

1. Задача на розподіл числа на рівні частини: «Учню треба обвести 6 клітинок у двох рівних рядах. По скільки клітинок треба обвести в кожнім ряді?» Міркування. Обведемо по одній клітинці в кожнім ряді, всього 2 клітинки, потім ще по одній клітинці в кожнім ряді, всього 4 клітинки, і, нарешті, ще по одній клітинці в кожнім ряді, всього 6 клітинок. У результаті виходить креслення, на якому показується ділене, дільник, частка.2. Задача на розподіл числа по змісту: «Учню треба обвести 6 клітинок, по 2 клітинки в кожнім ряді. Скільки вийде рядів?» Міркування. Обведемо 2 клітинки, у першому ряді всього 2 клітинки; обведемо ще 2 клітинки, всього 4 клітинки в двох рядах; обведемо ще 2 клітинки, всього 6 клітинок у трьох рядах. У результаті виходить креслення.

За допомогою графічного зображення умов розглянутих вище задач легко показати зв'язок двох видів розподілу один з одним і зв'язок їх із множенням. Оскільки узагальнення двох видів розподілу віднесено підручником на той час, коли учні вже знайомі з перебуванням невідомого співмножника, то записувати рішення задач обох видів корисно у виді приклада з х. Так, рішення розглянутих вище задач на розкриття конкретного змісту розподілу важливо записати:

1) х – 2 = 6 2) 2 – х = 6

х =3 х = 3

Після того як учні навчаться графічно зображувати суму, різницю, добуток і частку двох чисел, можна приступити до графічного рішення окремих видів задач, віднесених до програми II класу.

Задачі в дві дії виду: а  b ± с, а ± b  с, (а + b)  с, (а ± b) : с.

Задачі розглянутого виду містять у собі просту задачу на дії першої ступіні ( чидодавання вирахування) і просту задачу на чи множення розподіл.

Розглянемо, наприклад, задачу (виду а  b + с): «У школу для ремонту привезли в перший день колоди на трьох машинах, по 10 колод у кожній машині. В другий день привезли 18 колод. Скільки колод привезли за два дні?»

Якщо зобразити колода у виді клітинки учнівського зошита, то кількість колод, що привезли в перший день на одній машині, зобразиться у виді прямокутної смужки, що містить 10 клітинок, а на трьох машинах — у виді прямокутника, що складає з трьох рівних прямокутних смужок. Кількість же колод, привезених у другий день, можна зобразити у виді прямокутної смужки, що містить 18 клітинок. Тоді загальна кількість колод, привезених за два дні, зобразиться так.

Одержуємо практичну задачу на підрахунок загального числа клітинок геометричної фігури. При цьому фігура, розділена на рівні квадрати, дозволяє не тільки тренувати учнів у використанні таблиць множення, але й у складанні арифметичних виражень (формул) з наступним обчисленням їхнього значення, як вказував А. М. Пишкало.

Можна скласти трохи різних формул для підрахунку загального числа клітинок розглянутої геометричної фігури в залежності від того, на які частини ми її розіб'ємо.

Переконливо і наочно можна перевірити правильність графічного рішення розглянутої задачі способом складання і графічного рішення зворотних задач.

Перша зворотна задача (виду a — b  c): «Для ремонту школи за два дні було привезено 48 колод. У перший день на трьох машинах привезли по 10 колод у кожній. В другий день привезли ще кілька колод. Скільки колод привезли в другий день?» Загальна кількість колод (48), привезених за два дні, можна зобразити за допомогою геометричної фігури. Тоді кількість колод, привезених у перший день, зобразиться у виді прямокутника, що містить 10  3=30 (клітинок). Очевидно, що число клітинок, що залишилося, (у результаті підрахунку знаходимо, що залишилося 18 клітинок) буде відповідати числу колод, привезених у другий день. Порівнюючи рішення прямої і зворотної задач, переконуємося, що пряма задача вирішена правильно.

Розглянемо графічне рішення ще однієї зворотної задачі стосовно розглянутого вище прямого задачі (виду (а b):с): «Для ремонту школи за два дні було привезено 48 колод. У перший день на декількох машинах привезли по 10 колод на кожній. В другий день привезли 18 колод. На скількох машинах привезли колоди в перший день?»

Будемо так само, як і в попередніх задачах, зображувати колода у виді клітинки учнівського зошита.

Представимо число 48 у виді добутку двох співмножників. Способи представлення числа 48 у виді добутку двох співмножників можуть бути різними: 6  8; 12  4 і т.д. Графічне рішення задачі не буде залежати від способів представлення числа 48 у виді добутку двох співмножників. Нехай, наприклад, число 48 представлене у виді добутку чисел 6 і 8. Графічно цей добуток можна зобразити за допомогою прямокутника, що містить визначене число клітинок: множене 6 указує на число клітинок в одній прямокутній смужці, а множник 8 — на число таких смужок.Зобразимо на малюнку 12 число колод, що привезли в другий день. З цією метою в прямокутнику відрахуємо 18 клітинок, почавши відлік з нижньої прямокутної смужки, з першої праворуч клітинки (тому що в одній смужці 6 клітинок, то відрахуємо три смужки). Число клітинок, що залишилося, покаже кількість колод, що привезли в перший день. Тому що в перший день на кожній машині привозили по 10 колод, то, щоб довідатися, на скількох машинах привезли колоди, можна міркувати приблизно в такий спосіб: «Відрахуємо, почавши з верхньої смужки, з першої клітинки ліворуч, 10 клітинок, одержимо кількість колод, що привезли на одній машині; відрахувавши ще десять клітинок, одержимо кількість колод, що привезли на другій машині, і, нарешті, відрахувавши ще 10 клітинок, одержимо кількість колод, що привезли на третій машині».

Задачі на знаходження суми і різниці двох добутків

Розглянемо задачу: «Учні II класу в кожнім з чотирьох рядів вирили по 6 ям для дерев, а учні 1 класу в кожнім із гріх рядів вирили по 7 ям. Скільки усього ям для дерев вирили учні I і II класів?»

Введемо умовну позначку. Зобразимо яму у виді клітинки учнівського зошита. У процесі аналізу задачі виконується і відповідний креслення.

— Про що говориться в задачі? (Учні I і II класів рили ями для дерев).

— Що відомо в задачі? (Учні II класу в кожнім з чотирьох рядів вирили по 6 ям для дерев).

— Зобразите це графічно.

— Що ще відомо в задачі? (Учні I класу в кожнім із трьох рядів вирили по 7 ям для дерев).

— Зобразите це графічно.

— Що запитується в задачі? (Скільки усього ям для дерев вирили учні I і II класів.)

Подальша робота складається в підрахунку загального числа клітинок геометричної фігури.

У залежності від того, на які частини ми розіб'ємо розглянуту фігуру, одержимо і різні вираження (формули) для підрахунку загального числа клітинок.

Розглянемо тепер таку задачу, рішення якої приводить до перебування різниці двох добутків: «У намет привезли 12 ящиків з яблуками, по 8 кг у кожнім. До обідньої перерви було продано 9 ящиків. Скільки кілограмів яблук залишилося продати після обідньої перерви?»

— Про що говориться в задачі? (У намет привезли ящиківи з яблуками.)

— Що відомо в задачі? (У намет привезли 12 ящиків з яблуками, по 8 кг у кожнім).

Якщо умовимося, що одному кілограму яблук відповідає клітинка учнівського зошита, то як графічно зобразити ящиківа з яблуками? (У виді прямокутної смужки, що містить 8 клітинок).

— А як зобразити графічно 12 ящиків з яблуками? (У виді прямокутника, що складає з 12 рівних прямокутних смужок, кожна з який містить 8 клітинок).

— Зобразите це. Що ще відомо в задачі? (До обідньої перерви було продано 9 ящиків).

— Зобразите це графічно. (Учні відраховують у прямокутнику, 9 прямокутних смужок, починаючи з першої зверху смужки).

— Про що запитується в задачі? (Скільки кілограмів яблук залишилося продати після обідньої перерви.)

Для того щоб відповісти на запитання задачі, підраховують число ящиків, що залишилося - їх 3. Тому що в кожній ящиківі по 8 кг яблук, то, отже, залишилося продати 8 • 3=24 (кг).

Розглянемо графічне рішення зворотної задачі стосовно розглянутого вище: «У намет привезли 12 ящиків з яблуками, по 8 кг у кожнім. До обідньої перерви було продано кілька ящиків. Після обідньої перерви залишилося продати 24 кг яблук. Скільки ящиків з яблуками було продано до обідньої перерви?»

Запис рішення задачі по «сходинках» з наступним складанням формули має такий вид:

1) 8  12 (кг) х= (8  12 - 24) : 8

2) 8  12 — 24 (кг) х = (96 — 24) : 8

3) (8  12 — 24) : 8 (ящ.) х = 9

Графічне рішення задачі. Користаючись тими ж умовними позначками, що і при графічному рішенні прямої задачі, і аналізуючи умову, одержимо креслення.

На ньому відлік кількості яблук (24 кг), що залишилося продати після обідньої перерви, початий з нижньої прямокутної смужки, з першої праворуч клітки. У задачі потрібно довідатися, скільки ящиків з яблуками було продано до обідньої перерви. Тому що на малюнку 19 ящиківа зображена у виді прямокутної смужки, що містить 8 кліток, те очевидно, що до обідньої перерви було продано 9 ящиків з яблуками.

Після рішення задачі дітям корисно задати питання:

— Якби після обідньої перерви було продано не 24 кг яблук, а більше (менше), те що можна сказати про кількість яблук, проданих до обідньої перерви: чи більше менше. Покажіть справедливість вашого твердження на кресленні.

Якби в магазин привезли число ящиків менше, ніж 12, а після обідньої перерви залишалося продати то ж кількість кілограмів яблук (24 кг), те що можна було б сказати про кількість ящиків з яблуками, проданих до обідньої перерви: чи більше менше, ніж 9 ящиків, продали б.

Такі додаткові питання будуть сприяти виявленню функціональної, залежності між величинами.

Задачі на знаходження частки двох добутківРозглянемо задачу: «Юра обвів чотири ряди клітинок, по 6 клітинок у кожнім ряді, а Сережа обвів два ряди клітинок, по 3 клітинки в кожнім ряді. В скількох разів більше обвів клітинок Юра, чим Сергій?»

Вирішуючи задачу шляхом складання формули, учень у зошиті робить наступні записи:

Юра — 4 ряди по 6 клітинок | у х

Сергій — 2 ряди по 3 клітинки | раз

1) 6  4 (клітинок) х = (6  4) : (3 2)

2) 3 2 (клітинок) х = 24:6

3) (6  4) : (3  2) х = 4

Відповідь: у 4 рази.

Розглянемо тепер графічне рішення задачі.

— Про що говориться в задачі? (Про те, що Юра і Сергій обводили клітинки в зошитах.)

— Що відомо в задачі (Юра обвів чотири ряди клітинок, по 6 клітинок у кожнім ряді.)

— Зобразите це графічно. Що ще відомо в задачі? (Сергій обвів два ряди клітинок, по 3 клітинки в кожнім ряді.)

— Зобразіть це графічно.

Про що запитується в задачі? (У скількох разів більше обвів клітинок Юра, чим Сергій.)

Щоб відповісти на запитання задачі, треба знайти, скільки разів прямокутник, зображений на малюнку

Відповідь: 4 рази.

Розглянемо графічне рішення задачі, зворотної стосовно розглянутого вище прямій задачі: «Юра обвів кілька рядів клітинок, по 6 клітинок у кожнім ряді. Сергій обвів два ряди клітинок, по 3 клітинки в кожнім ряді. Юра обвів клітинок у 4 рази більше, ніж Сергій. Скільки рядів клітинок обвів Юра?»

Зобразимо графічно число клітинок, обведених Сергієм. Тому що Юра обвів клітинок у 4 рази більше, ніж Сергій, те число клітинок, обведених Юрою, графічно можна зобразити так.

Розташовуючи зображені, клітинки по 6 у ряд, одержимо 4 ряди.

Моделювання як важливий засіб навчання рішенню задач

Діюча програма початкової школи вимагає розвитку самостійності в дітей у рішенні текстових задач. Кожен учень повинний уміти коротко записати умову задачі, ілюструючи його за допомогою малюнка, чи схеми креслення, обґрунтувати кожен крок в аналізі задачі й у її рішенні, перевірити правильність рішення. Однак на практиці ці вимоги виконуються далеко не цілком, що приводить до серйозних пробілів у знаннях і навичках учнів.

Задача (II клас): «Для ремонту школи в перший день привезли 28 колод, а в другий день привезли на 4 машинах по 10 колод. Скільки усього колод привезли за два дні?»

Правильні рішення:

28 + 10  4 = 68 (б.) чи: 1) 10  4 = 40 (б.)

2) 28 + 40 = 68 (б.)

Помилкові рішення:

I варіант

1) 4+10=14 (б.)

2) 28+14=42 (б.)

II варіант

1) 28:4=7 (б.)

2) 7+10=17 (б.)

III варіант

1) 28:4=7 (б.)

2) 7  10=70 (б.)

Чимало помилок було допущено другокласниками й у такій задачі: «У радгоспі працюють 37 трактористів, шоферів на 8 більше, ніж трактористів, а комбайнерів на 5 менше, ніж шоферів. Скільки комбайнерів працює в радгоспі?»

Правильні рішення:

(37+8)—5=40 (к.) чи: 1) 37+8=45 (ш.)

2) 45—5=40 (к.)

Помилкові рішення:

I варіант

1) 37—8=29 (т.)

2) 29+5=34 (к.)

II варіант

1) 37+8=45 (т.)

2) 45:5=9 (к.)

Найбільше число помилок допустили другокласники в рішенні задачі на пропорційні величини: «У трьох однакових ящиківах 21 кг апельсинів. Скільки кілограмів апельсинів у 8 таких ящиківах?»

Правильні рішення:

(21:3)  8=56 (кг) чи: 1) 21:3=7 (кг)

2) 7  8=56 (кг)

Помилкові рішення:

I варіант

21—8=13 (кг)

II варіант

1) 21:3=7 (кг)

2) 7+8=15 (кг)

III варіант 21 + 8=29 (кг)

IV варіант

1) 21—3=18 (кг)

2) 18+8=26 (кг)

Учні III класу погано справилися з наступною задачею: «У швальні було 240 м ситцю. Коли зшили кілька платтів, витрачаючи на кожне по 3 м, те в майстерні залишилося 90 м ситцю. Скільки платтів зшили?»

Правильні рішення:

(240—90):3=50 (пл.) чи:

1) 240—90=150 (м)

2) 150:3 =50 (пл.)

Помилкові рішення:

I варіант

1) 240  3=720 (м)

2) 720:90=8 (пл.)

II варіант

1) 240:3=80 (м)

2) 90—80=10 (пл.)

III варіант

1) 240:3=80 (пл.)

2) 90:3=30 (пл.)

3) 80+30=110 (пл.)

Розглянуті помилки свідчать про те, що учні, що не справилися з рішенням задач, не змогли уявити собі життєвої ситуації, відбитої в задачі, не усвідомили відносин між величинами в ній, залежності між даними і шуканим, а тому просто механічно маніпулювали числами.Чому ж учні допустили так багато помилок навіть при повторному рішенні знайомих задач? Наші спостереження, аналіз результатів проведеної роботи, бесіди з вчителями й учнями дозволяють зробити висновок про те, що 4 одна з основних причин помилок, що допускаються дітьми, у рішенні текстових задач — неправильна організація первинного сприйняття учнями умови задачі і її аналізу, що проводяться без належної опори на життєву ситуацію, відбиту в задачі, без її предметного чи графічного моделювання. Як правило, у процесі аналізу використовуються лише різні види короткого запису умови чи задачі готові схеми, а створення моделі на очах у чи дітей самими дітьми в процесі розбору задачі застосовується вкрай рідко. До того ж при фронтальному аналізі і рішенні задачі вчителі нерідко обмежуються правильними відповідями двох-трьох учнів, а інші записують за ними готові рішення без глибокого їхнього розуміння.

Для усунення відзначених недоліків необхідно насамперед рішуче поліпшити методику організації первинного сприйняття й аналізу задачі, щоб забезпечити усвідомлений і доказовий вибір арифметичної дії всіма учнями. Головне для кожного учня на цьому етапі — зрозуміти задачу, тобто усвідомити, про що ця задача, що в ній відомо, що потрібно довідатися, як зв'язані між собою дані, які відносини між даними і шуканими і т.п. Для цього необхідно з I класу учити дітей розбивати текст задачі на значеннєві частини і моделювати ситуації, відбиті в задачі.

Що ж розуміється під моделюванням умови задачі?

Моделювання в широкому змісті слова — це заміна дій з реальними предметами діями з їхніми зменшеними зразками, моделями, муляжами, макетами, а також з їхніми графічними замінниками: малюнками, кресленнями, схемами і т.п. При цьому малюнки можуть зображувати реальні предмети (людей, тварин, рослини, машини і т.п.) чи ж бути умовними, схематичними, тобто зображувати реальні предмети умовно, у виді різних фігур: квадратів, кружків, прямокутників і т.п.

Креслення являє собою також умовне зображення предметів, взаємозв'язків між ними і взаємини величин за допомогою відрізків і з дотриманням визначеного масштабу.

Креслення, на якому взаємозв'язки і взаємини передаються приблизно, без точного дотримання масштабу, називається схематичним кресленням, чи схемою.

Предметне і графічне моделювання математичної ситуації при рішенні текстових задач давно застосовується в шкільній практиці, але без належної системи і послідовності, що порозумівається неправильним розумінням ролі наочності в навчанні і розвитку учнів. Дотепер багато вчителів неправильно думають, що наочність обов'язково повинна бути тільки на початковому етапі навчання, а з розвитком абстрактного мислення в дітей вона своє значення втрачає. Звідси в II—III класах основним засобом наочності при аналізі задач стає короткий запис умови задачі і лише зрідка застосовуються готові схеми і таблиці. А тим часом наочність, особливо графічна, потрібна на всьому протязі навчання як важливий засіб розвитку більш складних форм конкретного мислення і формування математичних понять. Як відзначає Л. Ш. Левенберг, «малюнки, схеми і креслення не тільки допомагають учнем у свідомому виявленні схованих залежностей між величинами, але і спонукують активно мислити, шукати найбільш раціональні шляхи рішення задач, допомагають не тільки засвоювати знання, але й опановувати умінням застосовувати їхній» .

Так, у II класі, вперше аналізуючи задачу, помилкові рішення якої ми привели на початку статті: «У перший день для ремонту школи привезли 28 колод, а в другий день привезли на 4 машинах по 10 колод. Скільки усього колод привезли за ці два дні?», звичайно записують її коротко в такому виді:

I д. - 28 б.

II д. - на 4 маш. по 10 б.

Така модель не відбиває життєвої ситуації з достатньою наочністю, що і приводить до помилок у рішенні задачі. Тому необхідно змоделювати її умова у виді схематичного малюнка:

Така модель відбиває математичну ситуацію більш наочно. По такій моделі навіть слабкий учень зможе записати рішення, якщо не так:

28+10 Ÿ 4=68 (б.), те хоча б так:

1) 10+10+10+10=40 (б.)

2) 28+40=68 (б.)

і буде випробувати менше утруднень при повторному рішенні цієї чи подібної задач.

Розглянемо другу задачу з зазначених на початку статті: «У радгоспі працюють 37 трактористів, шоферів на 8 більше, ніж трактористів, а комбайнерів на 5 менше, ніж шоферів. Скільки комбайнерів працює в радгоспі?» Звичайний короткий запис цієї задачі виглядає так:

Т.—_37 ч.

Ш.— на 8 більше, ніж трактористів

К.— ? — на 5 менше, ніж шоферів

Такий запис при первинному аналізі цієї задачі нераціональний, тому що не розкриває наочно взаємини величин і не допомагає у виборі дій.

На уроці заслуженого вчителя школи РСФСР Я. И. Якушевой (Михалевська початкова школа Шуйского району) ця задача була змодельована по-іншому.Така модель дає наочне представлення про відносини між даними і шуканим у задачі. Аналізуючи задачу, діти з'ясовують, що шоферів на 8 більше, ніж трактористів, тобто їх стільки ж так ще 8. Тому відрізок на схемі, що зображує чисельність шоферів, вони накреслять більшої довжини, чим відрізок, що зображує чисельність трактористів. А тому що чисельність комбайнерів на 5 менше, ніж шоферів, тобто їх стільки ж, але без 5, те і відрізок, що показує чисельність комбайнерів, повинний бути менше відрізка, що показує чисельність шоферів. При такім моделюванні вибір дії буде зрозумілі й обґрунтованої, учні не будуть діяти навмання, механічно маніпулюючи числами.

Розглянемо задачу з пропорційними величинами, що викликала великі утруднення в другокласників: «У трьох однакових ящиківах 21 кг апельсинів. Скільки кілограмів апельсинів у 8 таких ящиківах?» Звичайна умова цієї задачі відразу записують у таблицю:

Маса однієї ящиківи Кількість ящиків Загальна

маса

Однакова 38 21 кг ?

Таблиця — це теж модель задачі, але більш абстрактна, чим схематичний чи малюнок креслення. Вона припускає вже гарне знання учнями взаємозалежностей пропорційних величин, тому що сама таблиця цих взаємозалежностей не показує. Тому при первинному знайомстві з такою задачею таблиця мало допомагає представити математичну ситуацію і вибрати потрібну дію. При первинному знайомстві з цією задачею доцільніше змоделювати її умова по-іншому, у виді схематичного малюнка (мал. 2) чи креслення (мал. 3).

По такій моделі шлях рішення задачі став би більш зрозумілим для всіх учнів: щоб довідатися, скільки кілограмів апельсинів у 8 ящиківах, потрібно знати, скільки кілограмів апельсинів в одній ящиківі.

Як указувалося на початку статті, третьокласники погано справилися з задачею: «У швальні було 240 м ситцю.

Коли зшили кілька платтів, витрачаючи на кожне по 3 м, те в майстерні залишилося 90 м ситцю. Скільки платтів зшили?» Очевидно при первинному аналізі цієї задачі не використовувалося графічне моделювання, що могло б представляти собою, наприклад, таку схему (мал. 4).

Така схема зробила би вибір дії більш зрозумілим для кожного учня.

Особливо велику роль грає моделювання при рішенні задач на рух. При цьому модель повинні створювати самі учні під керівництвом учителя. Розглянемо приклад такого моделювання по фрагменті уроку вчителя Г. С. Прохоровой у III класі школи № 18 р. Шуи.

Задача: «Із двох міст, що знаходяться на відстані 520 км, одночасно вийшли назустріч один одному два потяги, що зустрілися через 4 ч. Один потяг йшов зі швидкістю 60 км/ч. З якою швидкістю йшов другий потяг?» Вчитель у бесіді з учнями з'ясовує, про який рух говориться в задачі, що про цей рух відомо, і пропонує накреслити схему руху. Викликаний учень, повторюючи зміст задачі, під спостереженням класу моделює описану в ній життєву ситуацію. Відстань між містами він зображує у виді відрізка. Напрямок зустрічного руху показує стрільцями, а місце зустрічі позначає прапорцем. На питання вчителя, як позначити на схемі, що потяги зустрілися через 4 ч, учень відзначає число годин руху кожного потяга вертикальними штрихами на схемі, а також позначає цифрами відстань між містами і швидкість руху першого потяга. Схема здобуває вид (мал. 5).

Рішення задачі дітям було запропоновано записати самостійно чи вираженням по діях і пояснити вибір дії. Усі справилися з рішенням задачі самостійно. Учні вирішили задачу двома способами і записали такі вираження: (520—60  4):4, 520:4—60.

Таке моделювання, коли модель виникає на очах у дітей, має явну перевагу перед застосуванням готових малюнків і схем.

На графічне моделювання не слід шкодувати часу на уроці. Це з лишком окупиться в процесі рішення задачі. І навпаки, відсутність графічної моделі може привести до неправильного рішення задачі. Так, в одному класі зважувалася задача: «З пачки взяли 18 зошитів, після чого в пачці залишилося в 2 рази менше зошитів, чим було. Скільки зошитів було в пачці спочатку?» Вчитель обмежився коротким записом задачі:

Узяли — 18т.

Залишилося — у 2 рази менше

Було — ?

Потім пішло колективне рішення: 18:2+18=27 (т.), що невірно.

Вчитель і учні не звернули уваги на те, що в пачці залишилося в 2 рази менше, ніж було, а не чим узяли. А якби при аналізі задачі була зроблена графічна модель (мал. 6), те помилки не відбулося б, тому що на схемі було б видно, що залишилася половина того, що було. Виходить, у пачці було 18  2=36 (т.)

Рис. 6Таким чином, щоб діти краще уявляли собі життєву ситуацію, відбиту в задачі, легше просліджували залежності між величинами, а вибір дії ставав для них усвідомленим і доказової, необхідно систематично навчати дітей моделюванню, починаючи з повного предметного зображення числового взаємини величин з демонстрацією самої дії задачі. Потім варто переходити до більш узагальненого умовно-предметного і графічного моделювання, до короткого запису задачі з використанням створюваного на очах у дітей і самих дітей креслення, схеми, після чого можна переходити до більш високого ступеня абстракції з застосуванням готових узагальнених опорних схем і таблиць.

Систематичне використання предметного і графічного моделювання забезпечить більш якісний аналіз задачі, усвідомлений і обґрунтований вибір необхідної арифметичної дії і попередить багато помилок у рішенні задач учнями.
Категорія: Математика | Додав: КрАсАв4іК (22.01.2013)
Переглядів: 255 | Рейтинг: 0.0/0
Всього коментарів: 0
Додавати коментарі можуть лише зареєстровані користувачі.
[ Реєстрація | Вхід ]