| Головна » Статті » Математика | [ Додати статтю ] |
Правило Лопіталя. Теореми Коші і Лагранжа
|
1. Правило Лопіталя У попередній главі ми ознайомилися з деякими способами розкриття невизначеностей. Розглянемо ще один спосіб, який ґрунтується на застосуванні похідних. Теорема 1. Нехай функції визначені і диференційовні в околі точки х0, за винятком, можливо, самої точки х0, причому Вважатимемо, що х0 – скінчене число: . Довизначемо функції в точці х=х0, поклавши Тоді ці функції будуть неперервні в точці х0. розглянемо відрізок [x0;x], що належить даному околу. Функції і неперервні на [x0;x], диференційовні на (х0, х) і . Тому за теоремою Коші знайдеться точка, тому, що. Оскільки за умовою існує, якщо, то з рівності маємо: Зауваження 1. Теорема справедлива і в тому випадку, коли . Дійсно, поклавши , маємо Зауваження 2. Якщо похідні задовольняють ті самі умови, що і функції і то теорему і можна застосувати ще раз. При цьому дістанемо Взагалі, теорему 1 можна застосувати доти, поки не прийдемо до відношення похідних , яке має певну границю при . Цю саму границю матиме й відношення функцій: Теорема 1 дає змогу розкривати невизначеність виду Сформулюємо теорему, яка стосується розкриття невизначеності виду. Теорема 2. Нехай функції і визначені і диференційовні в околі точки х0 і в цьому околі Тоді якщо існує границя то існує границя і Цю теорему приймемо без доведення. Виражене теоремами 1 і 2 правило обчислення границь називають правилом Лопіталя за іменем математика, який опублікував його. Але це правило відкрив І. Бернуллі, тому правило Лопіталя називають ще правилом Бернуллі – Лопіталя. Зауважимо, що правило Лопіталя застосовується лише для розкриття невизначеності виду і , які називають основними. Відомі ще й такі невизначеності, як покажемо, як ці невизначеності зводяться до основних. а). Якщо то невизначеність виду 0• можна звести до основних так: б). Якщо то невизначеність виду зводиться до невизначеності : в). Якщо, то і невизначеність виду 00 зводиться до невизначеності 0• , розглянутої вище. Аналогічно розкриваються невизначеності і . Таким чином, щоб розкрити невизначеності , їх треба спочатку звести до основних і лише після цього застосувати правило Лапіталя. Приклад. Обчислити границі: а). Тут невизначеність виду , тому за правилом Лопіталя маємо б). Маємо невизначеність виду тому в). Тут невизначеність виду Зведемо її до невизначеності після чого застосовуємо правило Лопіталя: г). Маємо невизначеність виду . Зведемо її до невизначеності після чого застосуємо правило Лопіталя: д). Тут невизначеність виду . Маємо Знайдемо границю в показнику. Для цього зведемо дану невизначеність до виду , потім скористаємось правилом Лопіталя: е). Маємо невизначеність виду , тоді є). Тут невизначеність виду 00, тоді ж). Для розкриття цієї невизначеності правило Лопіталя потрібно застосувати п разів: 2. Теореми Коші і Лагранжа Теорема Коші. Якщо функція і неперервні на відрізку [a;b], диференційовні в інтегралі (a;b), причому то існує така точка , що Введемо допоміжну функцію яку можна розглядати на відрізку [a;b], то . У противному разі за теоремою Ролля знайшлася б точка в якій що неможливо, бо за умовою Неважко пересвідчитись, що функція F(x) задовольняє всі умови теореми Ролля. Тому знайдеться точка , в якій F’©=0 або звідки й випливає формула. Теорема Лагранжа. Якщо функція f(x), неперервна на відрізку [a;b], диференційована в інтервалі (a;b), то всередині цього інтервалу знайдеться хоча б одна точка , в якій Цю теорему можна розглядати як окремий випадок теореми Коші. Справді, поклавши у формулі дістанемо формулу. Розглянемо геометричний зміст теореми Лагранжа. Запишемо формулу у вигляді Тобто якщо функція задовольняє умові теореми Лагранжа, та на графіку цієї функції знайдеться хоча б одна точка, в якій дотична до графіка паралельна хорді, що сполучає кінці кривої А (a;f(a)) i B(b;f(b)). Таких точок може бути і кілька, але хоча б одна завжди існує. Формулу називають формулою Лагранжа, або формулою скінчених приростів, оскільки вона виражає точне значення приросту функції через похідну в деякій точці с інтервалу (a;b) і скінчене значення приросту аргументу . У теоремі Лагранжа вказується лише на існування точки с, для якої справедлива формула, але використання цієї теореми у математичному аналізі надзвичайно широке. Теорема Лагранжа має також і механічну інтерпретацію. Якщо S=S(t), t1Якщо при цьому русі в деякий момент часу τ доводиться повертати назад, то для цього швидкість потрібно повністю погасити: . Зрозуміло, що ці інтерпретації вірні лише тоді, коли закон руху S(t) задовольняє умови, які відповідають умовам теорем Ролля і Лагранжа. Приклади. 1. Довести, що рівняння має лише один дійсний корінь. Введемо функцію . Оскільки , а , то дане рівняння має дійсний корінь . Припустимо, що існує принаймні ще один корінь х2, тоді , причому для визначеності вважатимемо, що x1 | |
| Переглядів: 657 | |
| Всього коментарів: 0 | |