Правило Лопіталя. Теореми Коші і Лагранжа - Математика - Реферати та твори - Реферати На Любу Тему $ADMIN_B AR$
Неділя, 26.10.2014, 03:30
Вітаю Вас Гість | RSS
Меню сайту
Друзі сайту
Серіали онлайн Єдина Країна! Единая Страна!
Статистика

Онлайн всього: 0
Гостей: 0
Користувачів: 0

Реферати та твори

Головна » Файли » Математика [ Додати матеріал ]

Правило Лопіталя. Теореми Коші і Лагранжа
22.01.2013, 23:43
1. Правило Лопіталя

У попередній главі ми ознайомилися з деякими способами розкриття невизначеностей. Розглянемо ще один спосіб, який ґрунтується на застосуванні похідних.

Теорема 1. Нехай функції визначені і диференційовні в околі точки х0, за винятком, можливо, самої точки х0, причому

Вважатимемо, що х0 – скінчене число: . Довизначемо функції в точці х=х0, поклавши Тоді ці функції будуть неперервні в точці х0. розглянемо відрізок [x0;x], що належить даному околу. Функції і неперервні на [x0;x], диференційовні на (х0, х) і .

Тому за теоремою Коші знайдеться точка,

тому, що. Оскільки за умовою існує, якщо, то з рівності маємо:

Зауваження 1. Теорема справедлива і в тому випадку, коли . Дійсно, поклавши , маємо

Зауваження 2. Якщо похідні задовольняють ті самі умови, що і функції і то теорему і можна застосувати ще раз. При цьому дістанемо

Взагалі, теорему 1 можна застосувати доти, поки не прийдемо до відношення похідних , яке має певну границю при . Цю саму границю матиме й відношення функцій:

Теорема 1 дає змогу розкривати невизначеність виду Сформулюємо теорему, яка стосується розкриття невизначеності виду.

Теорема 2. Нехай функції і визначені і диференційовні в околі точки х0 і в цьому околі

Тоді якщо існує границя то існує границя і

Цю теорему приймемо без доведення.

Виражене теоремами 1 і 2 правило обчислення границь називають правилом Лопіталя за іменем математика, який опублікував його. Але це правило відкрив І. Бернуллі, тому правило Лопіталя називають ще правилом Бернуллі – Лопіталя.

Зауважимо, що правило Лопіталя застосовується лише для розкриття невизначеності виду і , які називають основними. Відомі ще й такі невизначеності, як покажемо, як ці невизначеності зводяться до основних.

а). Якщо то невизначеність виду 0• можна звести до основних так:

б). Якщо то невизначеність виду зводиться до невизначеності :

в). Якщо, то

і невизначеність виду 00 зводиться до невизначеності 0• , розглянутої вище. Аналогічно розкриваються невизначеності і .

Таким чином, щоб розкрити невизначеності , їх треба спочатку звести до основних і лише після цього застосувати правило Лапіталя.

Приклад.

Обчислити границі:

а). Тут невизначеність виду , тому за правилом Лопіталя маємо

б). Маємо невизначеність виду тому

в). Тут невизначеність виду Зведемо її до невизначеності після чого застосовуємо правило Лопіталя:

г). Маємо невизначеність виду . Зведемо її до невизначеності після чого застосуємо правило Лопіталя:

д). Тут невизначеність виду . Маємо

Знайдемо границю в показнику. Для цього зведемо дану невизначеність до виду , потім скористаємось правилом Лопіталя:

е). Маємо невизначеність виду , тоді

є). Тут невизначеність виду 00, тоді

ж). Для розкриття цієї невизначеності правило Лопіталя потрібно застосувати п разів:

2. Теореми Коші і Лагранжа

Теорема Коші. Якщо функція і неперервні на відрізку [a;b], диференційовні в інтегралі (a;b), причому то існує така точка , що

Введемо допоміжну функцію

яку можна розглядати на відрізку [a;b], то . У противному разі за теоремою Ролля знайшлася б точка в якій що неможливо, бо за умовою

Неважко пересвідчитись, що функція F(x) задовольняє всі умови теореми Ролля. Тому знайдеться точка , в якій F’©=0 або

звідки й випливає формула.

Теорема Лагранжа. Якщо функція f(x), неперервна на відрізку [a;b], диференційована в інтервалі (a;b), то всередині цього інтервалу знайдеться хоча б одна точка , в якій

Цю теорему можна розглядати як окремий випадок теореми Коші. Справді, поклавши у формулі дістанемо формулу.

Розглянемо геометричний зміст теореми Лагранжа. Запишемо формулу у вигляді

Тобто якщо функція задовольняє умові теореми Лагранжа, та на графіку цієї функції знайдеться хоча б одна точка, в якій дотична до графіка паралельна хорді, що сполучає кінці кривої А (a;f(a)) i B(b;f(b)). Таких точок може бути і кілька, але хоча б одна завжди існує.

Формулу називають формулою Лагранжа, або формулою скінчених приростів, оскільки вона виражає точне значення приросту функції через похідну в деякій точці с інтервалу (a;b) і скінчене значення приросту аргументу . У теоремі Лагранжа вказується лише на існування точки с, для якої справедлива формула, але використання цієї теореми у математичному аналізі надзвичайно широке.

Теорема Лагранжа має також і механічну інтерпретацію. Якщо S=S(t), t1Якщо при цьому русі в деякий момент часу τ доводиться повертати назад, то для цього швидкість потрібно повністю погасити: . Зрозуміло, що ці інтерпретації вірні лише тоді, коли закон руху S(t) задовольняє умови, які відповідають умовам теорем Ролля і Лагранжа.

Приклади.

1. Довести, що рівняння має лише один дійсний корінь.

Введемо функцію . Оскільки , а , то дане рівняння має дійсний корінь . Припустимо, що існує принаймні ще один корінь х2, тоді , причому для визначеності вважатимемо, що x1
Категорія: Математика | Додав: КрАсАв4іК
Переглядів: 80 | Завантажень: | Рейтинг: 0.0/0
Всього коментарів: 0
Имя *:
Email:
Код *: