Головна » Статті » Математика [ Додати статтю ]

Площина
Загальне рівняння площини та його дослідження

Покажемо, що алгебраїчною поверхнею першого порядку є площина. Для цього доведемо такі теореми.

Теорема 1. Площина в прямокутній декартовій системі координат визначається загальним рівнянням першого степеня відносно поточних координат.

Доведення. Геометрично будь-яку площину в просторі хуz можна задати за допомогою вектора , перпендикулярного до цієї площини, і точки M0 (x0, y0, z0), Через яку проходить дана площина (рис.1).

Візьмемо довільну точку M (х, у, z) і знайдемо вектор . Точка M належить заданій площині тоді і тільки тоді, коли

Оскільки то скалярний добуток можна записати у вигляді

А(х - х0) + В(у - у0) + C(z - z0) = 0,

або

Ах + By + Cz - (Aх0 + Ву0 + Cz0) = 0.

Позначивши

(AX0 + Ву0 + Cz0) = D

дістанемо загальне алгебраїчне рівняння першого степеня:

Ах + By + Cz + D = О,

Отже, будь-яка площина в декартових прямокутних координатах може бути зображена рівнянням першого степеня.

Зауважимо, що рівняння (1) є рівнянням площини, яка проходить

через точку M0 (х0, у0, z0) перпендикулярно до вектора = (А, В, С). Доведемо тепер обернену теорему.

Теорема 2. Загальне рівняння першого степеня

Ax + By + Cz + D = 0, (3)

де А, В, С і D - довільні дійсні числа; х, у, z - поточні координата, визначає в декартовій прямокутній системі координат площину.

Доведення. Доберемо трійку чисел (х0, y0, z0), які задовольняють рівняння (3). Це можна зробити таким чином. Два числа х0 і у0 візьмемо довільно, а третє z0 знайдемо з рівняння (3). Тоді

Ах0 + Ву0 + Cz0 + D = 0. (4)

Віднімаючи від рівняння (3) рівняння (4), дістаємо

А(х - х0) + В(у - у0) + C(z - z0) = 0. (5)

Це рівняння є рівнянням площини, перпендикулярної до вектора = (А, В, С) і такої, що проходить через точку M0 (х0, у0, z0).

Таким чином, кожна площина є поверхнею першого порядку, і, навпаки, кожна поверхня першого порядку є площиною. Тому рівняння (l) або (3) називається загальним рівнянням площини.

Рівняння

(6)

називається векторним рівнянням площини. Враховуючи, що векторне рівняння площини запишемо у вигляді:

Якщо у загальному рівнянні площини покласти z - z0 = 0, то дістанемо рівняння

А(х - х0) + В(у - у0) = 0,

або Ах + By + С = 0, (7)

де С = - (Ax0 + Ву0). Рівняння ( 7) називається загальним рівнянням прямої, що лежить у площині хОу.

Дослідження загального рівняння площини

Розглянемо загальне рівняння площини .

Ах + Вy + Cz + D = 0. (8)

де А, В, С і D - довільні числа, причому хоча б одне з перших трьох відмінне від нуля.

Дослідимо окремі випадки цього рівняння:

Якщо D = 0, то рівняння (8) набирає вигляду

Ах + By + Cz = 0. (9)

Це рівняння задовольняє точка О (0, 0, 0). Отже, рівняння (9) визначає площину, яка проходить через початок координат.

Якщо А = 0, то рівняння (8) має вигляд

By + Cz + D = 0 (10)

і визначає площину, нормальний вектор якої = (О, В, С) перпендикулярний до осі Ох. Отже, рівняння (10) визначає площину, паралельну осі абсцис, або перпендикулярну до площини yOz.

Якщо А = В = 0, а С 0, то маємо рівняння площини, паралельної хОу:

Рівняння х = 0, у = 0, z = 0 визначають відповідно координатні площини yOz, xOz, хОу.

Різні види рівнянь площини.

Рівняння площини у відрізках на координатних осях.

Розглянемо загальне рівняння площини

Ах + Ву+ Cz + D = 0, (11)

коли всі його коефіцієнти і вільний член відмінні від нуля. Поділимо обидві частини рівняння (11) на D 0 і запишем

Рівняння площини у вигляді (13) називається рівнянням у відрізках.

Знайдемо точки перетину площини (13) з координатними осями:

на осі абсцис у = z = 0, тоді х = а,

на осі ординат х = z =0, тоді у = b,

на осі аплікат х = у = 0, тоді z = с.

Таким чином, площина, задана рівнянням у відрізках, відтинає на координатних осях відповідно відрізки a, b і с.

Якщо потрібно побудувати площину, задану рівнянням, то зручно це рівняння записати у відрізках на осях. Тоді по точках M1 (a, 0, 0), М2 (0, b, 0) і М3 (0, 0, c) легко побудувати площину (рис.2).

Рівняння площини, що проходить через три дані точки

Нехай дано три точки М1 (х1 у1, z1), М2 (х2, у2, z2), M3(x3,y3,z3), що не лежать на одній прямій. Ці точки однозначно визначають площину, яка проходить через них. Знайдемо рівняння цієї площини.

Візьмемо довільну точку простору M (х, у, z) (рис.3) і побудуємо вектори:

Точка M (х, у, z) належить шуканій площині тоді і тільки тоді, коли вектори лежать у цій площині, тобто коли вони компланарні.

Запишемо цей добуток через координати векторів, які перемножаються. Маємо:Якщо радіуси-вектори точок М, М1, М2 і М3 відповідно позначити через то вектори можна зобразити у вигляді

Тоді рівняння (14) можна записати таким чином:

Рівняння (15) називається рівнянням площини, що проходить через три дані точки, у координатній формі, а рівняння (16) - у векторній формі.

Рівняння площини, що проходить

через дану точку паралельно двом даним векторам.

Нехай задано точку M0 (х0, у0, z0) і два неколінеарних (не паралельних) вектори а і е. Ці умови геометрично однозначно визначають площину, що проходить через задану точку паралельно заданим векторам. Знайдемо рівняння площини.

Рівняння площини, що проходить через точку M0, грунтуючись на (1), запишемо у вигляді

А(х - х0) + В(у - у0) + С(z - z0) =0, (17)

де (А, В, С) - вектор, перпендикулярний до даної площини, або нормальний вектор площини (рис. 4).

За умовою площина паралельна векторам . Отже, нормальний вектор площини можна виразити через векторний добуток даних векторів .

Якщо позначити радіуси-вектори точок M i M0 відповідно через , то рівняння (17) можна записати у вигляді ,звідки ,але Отже, вектори лежать в одній площині, тобто

Вираз (18) є векторною формою рівняння площини, що проходить через дану точку паралельно двом даним векторам.

Рівняння заданої площини у координатній формі має вигляд :

Рівняння площини, що проходить через

дві дані точки паралельно даному вектору.

Нехай дано дві точки М1(х1, у1, z1), М2 (х2, y2, z2) і вектор . Знайдемо рівняння площини, що проходить через дані точки паралельно вектору. Нехай M (х, у, z) - довільна точка простору. Позначимо радіуси-вектори точок М, М1, М2 відповідно через.

За другий вектор, через який проходить задана площина, візьмемо

вектор Тоді рівняння даної площини, згідно з рівнянням (18), можна записати у вигляді:

Кутом між двома площинами називають один із суміжних двогранних кутів або , утворених цими площинами (рис.5). Якщо площини не перетинаються, тобто паралельні, то кут між ними дорівнює 0 або .

Нехай кут між даними площинами . Тоді кут між нормальними векторами цих площин також дорівнюватиме або - . Кут знайдемо за формулою:

Поклавши в цій формулі , дістанемо умову перпендикулярності площин:

Якщо площини (22) паралельні, то і їхні нормальні вектори і також паралельні (колінеарні). Із умови паралельності векторів маємо

Звідси дістаємо умову паралельності площин:

Таким чином, у паралельних, площин коефіцієнти при відповідних координатах пропорційні.

Відстань від точки до площини

Нехай площина задана нормальним рівнянням і дано точку

M0 (х0, у0. z0), що лежить поза площиною. Відстань від точки M0 до площини позначимо через а. Відхилом точки M0 від даної площини називається число якщо точка M0 і початок координат лежать по різні боки від даної площини, і число , якщо точка M0 і початок координат лежать по один бік від площини

Із точки M0 на дану площину опустимо перпендикуляр М0 М1, де М1 (х1, у1, z1). Позначимо .

Розглянемо вектори

За правилом додавання векторів:

.

Враховуючи означення відхилу, вектор можна записати у вигляді

де - одиничний вектор променя.

Тоді дістанемо

Помножимо обидві частини цього рівняння скалярне на :

Оскільки скалярний добуток, а

Відхил точки від площини, яку задано нормальним рівнянням, дорівнює значенню лівої частини цього рівняння у цій точці.

Відстань точки від площини дорівнює модулю відхилу цієї точки від даної площини:

Якщо площину задано загальним рівнянням

Ах+Ву+Сz+D=0,

то щоб знайти відхил точки M0 (x0,y0,z0) від даної площини, треба спочатку звести рівняння до нормального вигляду, а потім знайти значення його лівої частини у точці M0:

Тоді відстань від точки M0 до площини

Контрольні запитання.

1. Довести, що рівняння площини завжди виражається рівнянням першого степеня і, навпаки, всяке рівняння першого степеня є рівнянням площини.

2. Який вигляд має загальне рівняння площини? Який зв’язок існує між нормальним вектором до площини та коефіцієнтами загального рівняння площини?

3. Дослідіть загальне рівняння площини.

4. Запишіть рівняння площини у відрізках на координатних осях.

5. Як визначається гострий кут між двома площинами, що перетинаються?

6. Запишіть умови паралельності та перпендикулярності площин.

7. Запишіть рівняння площини, що проходить через три задані точки.
Категорія: Математика | Додав: КрАсАв4іК (22.01.2013)
Переглядів: 260 | Рейтинг: 0.0/0
Всього коментарів: 0
Додавати коментарі можуть лише зареєстровані користувачі.
[ Реєстрація | Вхід ]