| Головна » Статті » Математика | [ Додати статтю ] |
Оцінки за методом найменших квадратів
|
Реферат на тему: Оцінки за методом найменших квадратів Нехай знову спостерігається значення випадкової величини вигляду (1). Введемо критерій якості оцінювання у вигляді Тут L L , причому - невід'ємні оператори, - узагальнений розв'язок рівняння (2) при . Означення 1. Оцінкою вектора за узагальненим методом найменших квадратів будемо називати вектор , який знаходиться з рівняння (2) при , де . В тому випадку, коли , відповідну оцінку називають оцінкою, отриманою за методом найменших квадратів. Нехай L і . Покажемо тоді, що має місце Твердження 1. Оцінка функції , отримана за методом найменших квадратів, співпадає з найкращою лінійною оцінкою і при цьому Доведення. Оскільки функціонал строго випуклий, неперервний і задовольняє умову при , то існує єдиний елемент , який може бути знайдений з умови звідки , а функція знаходиться із розв'язку системи рівнянь (1) Порівнюючи цю систему рівнянь із системою рівнянь для найкращої лінійної оцінки (7), бачимо, що вони співпадають. Далі, З системи рівнянь (1) одержимо, що Отже, що і треба було довести. р Припустимо далі, що в задачі (2) невідомі також деякі (можливо і всі) коефіцієнти . Тоді можна поставити задачу про відшукання оцінок цих коефіцієнтів і функції за методом найменших квадратів. На прикладі задачі про оцінку функції покажемо, які результати можна тут отримати. Нехай - обмежена замкнена опукла множина у просторі . Покажемо, що має місце наступна Теорема 1. Множина , де , непорожня. Доведення. Нехай - мінімізуюча послідовність. Виділимо із послідовності слабко збіжну в підпослідовність . Покажемо, що послідовність - обмежена у просторі : Звідки , а, отже, , де - деяка константа, але Оскільки обмежений оператор, то З цих співвідношень одержимо, що , де . Далі, з першого рівняння системи одержимо, що Отже, . З обмеженності норм випливає, що можна виділити слабко збіжну підпослідовність у просторі , для якої ми залишимо ті ж позначення, тобто , але тоді отримаємо, що і збігаються сильно до і відповідно. Покажемо, що і є розв'язками системи рівнянь (5.1) при , але це випливає із співвідношень оскільки слабко збігається до , а сильно збігається до у просторі . Нарешті зауважимо, що що і треба було довести. Наведемо далі необхідні умови для відшукання оптимального коефіцієнта . Теорема 2. Нехай . Тоді , , де знаходяться з розв'язку системи рівнянь де Доведення. Можна показати, що функціонал диференційовний у сенсі Гато і оскільки , то де визначається з розв'язку системи рівнянь (2) Перетворимо далі вираз . З першого рівняння системи (2) при отримаєм З другого рівняння системи ( 5.2) при Покладемо у другому рівнянні системи (5.2) , і тоді Знову поклавши у першому рівнянні системи (2) при , одержимо, що Враховуючи всі ці вирази, будемо мати, що звідки р Наслідок. Нехай майже скрізь виконується нерівність , де - вимірні майже скрізь обмежені функції. Тоді необхідні умови для можна переписати у вигляді м. с. на Зауважимо, що якщо ввести множини і покласти, що міра Лебега дорівнює нулеві, то майже скрізь. | |
| Переглядів: 601 | |
| Всього коментарів: 0 | |