Головна » Статті » Математика [ Додати статтю ]

Оцінки за методом найменших квадратів
Реферат на тему:

Оцінки за методом найменших квадратів

Нехай знову спостерігається значення випадкової величини вигляду (1). Введемо критерій якості оцінювання у вигляді

Тут L L , причому - невід'ємні оператори, - узагальнений розв'язок рівняння (2) при .

Означення 1. Оцінкою вектора за узагальненим методом найменших квадратів будемо називати вектор , який знаходиться з рівняння (2) при , де .

В тому випадку, коли , відповідну оцінку називають оцінкою, отриманою за методом найменших квадратів.

Нехай L і . Покажемо тоді, що має місце

Твердження 1. Оцінка функції , отримана за методом найменших квадратів, співпадає з найкращою лінійною оцінкою і при цьому

Доведення. Оскільки функціонал строго випуклий, неперервний і задовольняє умову при , то існує єдиний елемент , який може бути знайдений з умови

звідки , а функція знаходиться із розв'язку системи рівнянь

(1)

Порівнюючи цю систему рівнянь із системою рівнянь для найкращої лінійної оцінки (7), бачимо, що вони співпадають.

Далі,

З системи рівнянь (1) одержимо, що

Отже,

що і треба було довести. р

Припустимо далі, що в задачі (2) невідомі також деякі (можливо і всі) коефіцієнти . Тоді можна поставити задачу про відшукання оцінок цих коефіцієнтів і функції за методом найменших квадратів. На прикладі задачі про оцінку функції покажемо, які результати можна тут отримати.

Нехай - обмежена замкнена опукла множина у просторі . Покажемо, що має місце наступна

Теорема 1. Множина , де , непорожня.

Доведення. Нехай - мінімізуюча послідовність. Виділимо із послідовності слабко збіжну в підпослідовність . Покажемо, що послідовність - обмежена у просторі :

Звідки , а, отже, , де - деяка константа, але

Оскільки обмежений оператор, то

З цих співвідношень одержимо, що , де .

Далі, з першого рівняння системи одержимо, що

Отже, .

З обмеженності норм випливає, що можна виділити слабко збіжну підпослідовність у просторі , для якої ми залишимо ті ж позначення, тобто , але тоді отримаємо, що і збігаються сильно до і відповідно.

Покажемо, що і є розв'язками системи рівнянь (5.1) при , але це випливає із співвідношень

оскільки слабко збігається до , а сильно збігається до у просторі .

Нарешті зауважимо, що

що і треба було довести.

Наведемо далі необхідні умови для відшукання оптимального коефіцієнта .

Теорема 2. Нехай . Тоді , , де знаходяться з розв'язку системи рівнянь

де

Доведення. Можна показати, що функціонал диференційовний у сенсі Гато і оскільки , то

де визначається з розв'язку системи рівнянь

(2)

Перетворимо далі вираз . З першого рівняння системи (2) при отримаєм

З другого рівняння системи ( 5.2) при

Покладемо у другому рівнянні системи (5.2) , і тоді

Знову поклавши у першому рівнянні системи (2) при , одержимо, що

Враховуючи всі ці вирази, будемо мати, що

звідки

р

Наслідок. Нехай майже скрізь виконується нерівність , де - вимірні майже скрізь обмежені функції. Тоді необхідні умови для можна переписати у вигляді

м. с. на

Зауважимо, що якщо ввести множини

і покласти, що міра Лебега дорівнює нулеві, то

майже скрізь.
Категорія: Математика | Додав: КрАсАв4іК (23.01.2013)
Переглядів: 228 | Рейтинг: 0.0/0
Всього коментарів: 0
Додавати коментарі можуть лише зареєстровані користувачі.
[ Реєстрація | Вхід ]